Преобразуем левую часть равенства. Из формулы (52) для радиус-вектора центра масс имеем

Z^тк^Г К = MrС .

Беря от обеих частей этого равенства вторую производную по времени, найдем

d2 r d²r

Z m_k ^K = M ^C Z m_Ka, = Mac, (58)

^ ^kdt²dt² ,^ ^{KV 7}

где a_с— ускорение центра масс системы. Так как по свойству внутренних сил системы ZFk=0, равенство (57) принимает

M~a_c=ZFK. (59)

Уравнение (59) выражает теорему о движении центра масс системы.

Теорема1.

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая уравнение (59) с уравнением движения материальной точки, приходим к другому выражению теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проектируя обе части равенства (59) на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения центра масс

Mxc =Z^FL, Myc =ZFKy-, Mz_c=ZFKz. (60)

Значение доказанной теоремы состоит в том, что она дает обоснование методам динамики точки. Из уравнений (60) видно, что решения, которые мы получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкретный смысл.

В частности, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс. Таким, образом, поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела.

Кроме того, теорема 1. позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

3. Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы называют векторную величину Q, равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы

^Q = Z^mK°K- ⁽⁶¹⁾

Так как Zm_Kr_K= Mrc, то, беря от обеих частей производную по времени, получим

66

_Z

drк ^ _rdrc ,

mк = M илиZm-u, = MUc

^кdtdt ^ ^кc

Отсюда находим, что

Q = Mu_c , (62)

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел. Количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения системы, а при сложном движении — как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс.

Рассмотрим сумму дифференциальных уравнений движения системы

Z^m_Kaк =ZfK +ZFk .

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

d\ dQ

m_Kaк=—Zm_Ku,= — ^кdt^ ^кdt

Окончательно находим

§= ZFK. ⁽⁶³⁾

Уравнение (63) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме.

Теорема1.

Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

В проекциях на координатные оси будет

%=ZFi, %=ZfKy ■ #=ZFkZ . (64)

Пусть в момент времени t=0количество движения системы равно Q₀,а в момент tjстановится равным Q₁. Тогда, умножая обе части равенства (64) на dtи интегрируя, получим

Q- Q0 =ZfFKdt.

0

Так как интегралы, стоящие справа, дают, импульсы внешних сил, то

Q, - Q0 = ZS',. (65)

Данное уравнение выражает теорему об измене нии количества движения системы в интегральной форме.

Теорема2.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будет:

67