3. Вынужденные колебания. Явление резонанса

Пусть на точку кроме восстанавливающей силы Fдействует еще периодически изменяющаяся со временем сила Q,проекция которой на осьОх равна

Qx=Q0sinpt. (45)

Эта сила называется гармонической возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными. Величай р в равенстве (45) является частотой возмущающей силы.

Дифференциальное уравнение движения в этом случае имеет вид

т х = - cx+Q₀sinpt.

Разделим обе части этого уравнения на mи обозначим

c/m=k², Q(/m=P₀. (46)

Тогда дифференциальное уравнение движения примет вид

х + kx=P₀sin рt. (47)

Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет х=л₁+л₂ , где x₁— общее решение соответствующего однородного уравнения (40), а х₂— какое-нибудь частное решение полного уравнения (47).

Полагая, что рфк, будем искать решение х₂ в виде

х₂=Вsin рt,

Подставляя значение х₂ и его второй производной в уравнение (47), получим

22

• р Вsin рt+kВ sinрt=P₀sin рt.

Это равенство будет выполняться при любом t,если

В=Р( /(k²—р²).

Таким образом, искомое частное решение будет

_P

^x2= _{/ 2}⁰₂^sinp^t. ⁽⁴⁸⁾

k- p

Так как x=x₁+x₂, а значение x₁дается равенством (40), то общее решение уравнения (47) имеет окончательно вид

P

х = A sin(kt+ a) + ₂⁰₂sin pt, (49)

_k²_{- p}²

гдеА и a— постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение (49) показывает, что колебания точки складываются из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колеба­ниями,

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных со­противлений, собственные колебания будут довольно быстро затухать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении имеют вынужденные колебания,

60