Рис.2

которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s,которая равна расстоянию от точки O'до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1 М₂, . ., следовательно, расстояние sбудет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость

s=f(t). (6)

Уравнение (6) и выражает закон движения точки Мвдоль траектории.

Таким образом, чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s=f(t).

3. Определение скорости и ускорения точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится в момент времени tв положении М, определяемом радиус-вектором r, а в момент t₁приходит в положение Мд определяемое радиус-

24

Из треугольника ОММ_jвидно, что r+ MM₁ = r₁; следовательно,

MM₁=r₁

r= Д r.

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней скоростью точки за промежуток времени At:

и_ср = MM₁ / Дt = Дr/ Дt. (7)

Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени Дt,для которого вычислена средняя скорость, тем величина и_ср будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о мгновенной скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени tназывается векторная величина , к которой стремится средняя скорость u_cpпри стремлении промежутка времени Дt к нулю

Ат

^AtAt

и

lim( и_ср)=lim

At^Q

(8)

Предел отношения Ar/ Atпри Дt ^ 0 представляет собой первую производную от вектора rпо аргументу tи обозначается, как и производная от скалярной функции

,47^

(9)

- drи= — dt

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей MM₁является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. При прямолинейном движении вектор скорости и все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно. При криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки.

25