при
t=0
х=xo, у=у0,z=z0;
uxux0,
us
uy0,
uzuz0.
Рис.
5
51Выбрать
начало отсчета, совмещая его с начальным
положением точки и провести координатную
ось, направляя ее вдоль траектории в
сторону движения. Если под действием
приложенных сил точка может находиться
в каком-нибудь, положении в равновесии,
то начало отсчета удобно помещать в
положении статического равновесия.Изобразить
движущуюся точку в произвольном
положении и показать все действующие
на точку силы.Подсчитать
сумму проекций всех сил на координатную
ось и подставить эту сумму в правую
часть дифференциального уравнения
движения.при этом все
переменные силы необходимо выразить
через те величины (t,
х
или и),
от которых эти силы зависят.Проинтегрировать
полученное дифференциальное уравнение.Найти
постоянные интегрирования, используя
начальные условия.6)
Проанализировать полученное решение
и при необходимости найти другие
величины, требуемые в условиях задачи.
Криволинейное движение точки. Решение основной задачи динамики.
Построенный
в предыдущем параграфе алгоритм может
быть с успехом применен и к решению
основной задачи динамики при криволинейном
движении точки. Отличие состоит только
в количестве координатных осей,
дифференциальных уравнений и начальных
условий. Если задача решается в
прямоугольных декартовых координатах,
т. е. с помощью уравнений (11), то начальные
условия задаются в видеПолученные
решения будут содержать шесть постоянных
интегрирования С1,
С2
, ...,C6,
значения которых определяются по данным
начальным условиям.Рассмотрим
движение материальной точки массой mв
однородном поле тяжести брошенной с
начальной скоростью v0,направленной
под углома
к горизонтальной плоскости (сопротивлением
воздуха пренебрегаем).Поместим
начало координатО
в начальном положении точки. Направим
ось Оу
вертикально вверх; горизонтальную
осьОх
расположим в плоскости, проходящей
через Оу
и вектор и0,
а ось Ozпроведем
перпендиулярно первым двум осям (рис.5).
Тогда угол между вектором и0
и осьюОх
будет а.Изобразим
движущуюся точку М
в произвольном положении. На нее
действует только одна сила тяжести Р,
проекции которой на координатные оси
равны
Pх=0,
Py=-P=-mg,
Pz=0.
22
-uxdU duz
Ux=C1,
Uy=-gt=C2, Uz=C3.
при
t=0
х=0, у=0, z=0;
vx=v0cosa,
vy=v0sina,
uz=0.
C1=u0cosa,
C2=u0sina,
С3=0.
dx dy dz
х=и00tcosa
+C4,
y=u0tsina—gt
/2+C5,
z=C6.
x=u0tcosa,
y=u01
sina—gt/2, z=0. (18)
Траектория
точки.
2
Горизонтальная
дальность.
22
x=0,
x2=(2u
0cos
a tga)/g.
L=(u20/g)sin2
a. (20)
52Подставляя
эти величины в уравнения (11) и замечая,
что dx/dt
=dux/dtи
т.д.,
после сокращения на т
получим—-
= 0, —- = - g,
—- = 0. dtdtdtУмножая
обе части этих уравнений на dtи
интегрируя, находимНачальные
условия в данной задаче имеют видУдовлетворяя
начальным условиям, получимПодставляя
эти значения C1,
C2и
С3
в найденные выше решения и заменяя uxна
dx/dtи
т. д., придем к уравнениям
=
u0cosa,
— = u0sina-gt,
— = 0.
dt0dt0dtИнтегрируя
эти уравнения, получимПодстановка
начальных данных дает С4=С5,=С6=0,
и окончательно находим уравнения
движения точки М
в виде:Из
последнего уравнения следует, что
движение происходит в плоскости Оху.Зная
уравнения движения точки, можно методами
кинематики определить все характеристики
данного движения.
Исключаяиз
первых двух уравнений (18) время t,
получаем уравнение траектории точкиy
= xtga-2g2x2. (19)u0cosaЭто
уравнение параболы
с осью, параллельной оси Оу
и осями направленными вниз.
Полагая в равенстве (18) у=0,
найдем
точки пересечения траектории с осьюОх.
Из уравнения х [tga—
gx/(2u20cos2a)]=0
получаемПервое
решение дает точку O,второе
— точку С.
Следовательно, L=x2и
окончательноИз
формулы (19) видно, что такая же
горизонтальная дальность Lбудет
получена при угле в
= 90°—a.
Следовательно, при заданной начальной
скорости и0
в одну и ту же точкуС
можно попасть двумя траекториями: