Рис. 13

Полное ускорение точки Мбудетa=-yja²_r+ a²_n, или

a= Ws²+а⁴ . (37)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом и, который вычисляется по формуле tgи = a_T/a_n. Подставляя сюда значенияа _т и а_п из равенств (36), получаем

tgи = ^£/ а¹. (38)

Так как а и sимеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то из формул (37) и (38) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол и с радиусами описываемых ими окружностей.

11. Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 14). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др.

Рис. 14 Рис. 15

Рассмотрим сечение Sтела какой-нибудь плоскостью Оху, параллельной плоскости П (рис.14). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ', перпендикулярной сечению S, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение Sэтого тела или некоторая плоская фигура S. При этом все результаты, которые будут получены вдля точек плоской фигуры, справедливы и для точек сечения Sтвердого тела, движущегося плоскопараллельно.

36

Рис. 16

Характеристики поступательной части движения при этом изменятся, так как в общем случае Uc*uaи ac* a_A.Характеристики же вращательной части движения, т. е. о и s, остаются неизменными. В самом деле, проведя из С прямую СВ] параллельную АВ, мы видим, что в любой момент времени угол р₁=р-а, где а =const.Отсюда р = р, р = р или о = о, s₁= s.

Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.

11. Определение траекторий, скоростей и ускорений точек плоской фигуры

Перейдем теперь к изучению движения отдельных точек плоской фигуры, т. е.

37

Рис. 17

Движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью u_aполюсаА,и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически

^ ^ ТЛ

из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений. В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиус- вектором r= ra+ r'(рис.18), где ra — радиус-вектор полюса A,r' = AM — вектор, определяющий положение точки М относительно осейАх'у', перемещающихся вместе с полюсом Aпоступательно. Тогда

- drdradr'

UM = = 1 .

dtdtdt

В полученном равенстве величина drA/dt=u_Aесть скорость полюса A,а величина dr'/dtравна скорости u_MA,которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса A.Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

Um= UA+ UMA. (41)

При этом скорость v_MA,которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса A

Vma= ^а'^MA(иМА± MA^{), (42)}

где а— угловая скорость фигуры.

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически

38

Рис. 18 Рис. 19

11. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) с помощью формулы (41) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако, исходя из этого основного результата, можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры. Часто удобно использовать следующую теорему.

Теорема 1.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти

точки, равны друг другу.

Доказательство.

Рассмотрим какие-нибудь две точкиА и В плоской фигуры (или тела). Принимая точкуА за полюс (рис. 20), получаем по формуле (41), что U_в= и _A+ и _BA.

Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, Рис. 20

направленную по АВ, и учитывая, что вектор v_BAперпендикулярен АВ, находим

и Bcosв =v_Acosа, (43)

Т. е. теорема доказана. Заметим, что этот результат ясен и из чисто физических соображений: если равенство (43) не будет выполняться, то при движении расстояние между точкамиА и В должно изменяться, что невозможно, так как тело считается абсолютно твердым. Поэтому равенство (43) выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.

Доказанная теорема позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление скорости этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.

ТТ U с/

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры основан на понятии о мгновенном центре скоростей (МЦС).

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

39

Рис. 21

В самом деле, если допустить, что и_р ^ 0, то по теореме 1. вектор и_р должен быть одновременно перпендикулярен и АР, (так как v_A1AP)и ВР (так как v_B1BP), что невозможно.

Если теперь в момент времени tвзять точку Р за полюс, то по формуле (41) скорость точки A

ОA = Up+ U PA= ОPA,

так как u_p=0.Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

v_A= о • PA(о a1 PA); v_B=a- PB(ив 1PB)и т.д. (44)

Из (44) следует, что

о_А

U_B

PAPB, (45)

т. е. что скорости точек плоской фигуры, пропорциональны их расстояниям до МЦС.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС.

а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, то точка Ркатящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис.22), имеет в данный момент времени скорость, равную нулю (u_p=0)и, следовательно, является МЦС. Примером служит качение колеса по рельсу.

Рис. 22

Рис. 23

б) Если скорости точекА и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна и_А (рис.23, а), то МЦС лежит в

40