угловой скорости тела. Если за промежуток времени At= t₁-1угловая скорость тела изменяется на величину Аа = а_х - а, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет s_ср= Аа / At.В пределе при At^ 0 найдем

da d²р . ..

s = — = —7- илиs = а = р . (29)

dt dt^{2 J}

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени. Размерность углового ускорения рад/с .

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает,— замедленным.Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины а и sимеют одинаковые знаки, и замедленным,— когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора s, направленного вдоль оси вращения. При этом

s= da/dt.

Направление sсовпадает с направлением а, когда тело вращается ускоренно, и противоположно а, при замедленном вращении (рис. 12).

8. Равномерное и равнопеременное вращение

Вращение тела называется равномерным, если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (а=сот^. Из формулы (28) имеем dр =adt.Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0угол р = р₀, и беря интегралы слева от р₀ до р , а справа от 0 до t,получаем

р = р₀+rnt. (30)

Из равенства (30) следует, что при равномерном вращении, когда р₀ = 0

р= atи а = р /1. (31)

В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через nоб/мин. При одном обороте тело повернется на угол 2п, а при nоборотах на 2nn;этот поворот делается за время t=1 мин = 60 с. Тогда

а = nn/30 « 0,1n. (32)

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (s=const), то вращение называется равнопеременным. Пусть в начальный момент времени t=0угол р = р₀, а угловая скорость а = а₀.

Из формулы (29) имеем da=sdt.Интегрируя левую часть в пределах от а₀до а, а правую — в пределах от 0 до t,найдем

а =а₀+st. (33)

Выражение (33) можно представить в виде

dр/dt=rn₀+ stилиdp= а₀dt + stdt.

34

Вторично интегрируя, находим закон равнопеременного вращения

р=р₀ + о₀1 + st²/2. (34)

Если величины о и sимеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные — равнозамедленным.

9. Линейные скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рассмотрим некоторую точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии hот оси вращения (см. рис. 14). При вращении данная точка будет описывать окружность радиуса h,плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центрСлежит на самой оси. Если за время dtпроисходит элементарный поворот тела на угол dp,то точка М совершает элементарное перемещение ds=hdp.Тогда числовое значение скорости точки

ds,dpи=— = h—, dtdt

или

и= ha. (35)

Скорость и в отличие от угловой скорости тела называют линейной скоростью точки М.

Таким образом, значение линейной скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

2

a_Т=du/dt, a_n=u /p.

В данном случае p =h.Подставляя значение и из равенства (35) в выражения дляа _т и а_п, получаем

, dm h²о²

a_T= h , a_n= ,

^тdtⁿ h

или окончательно

a_T= hs , a_n = Но¹. (36)

Касательная составляющая ускорения a_Tнаправлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном). Нормальная составляющая a_nвсегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 13).

35