Решение.
(P/g)
a=P—F.
(P—Q)a/g=F-(P-Q).
Q
=2P/(i+g/a).
Рис.1 Рис.2
Решение.
T=P(i+a/g).
47
Решение прямой задачи динамики
Если
ускорение движущейся точки задано, то
действующая сила или реакция связи
сразу находится по уравнениям (1) или
(2). При этом для вычисления реакции надо
дополнительно знать активные силы.
Когда ускорение непосредственно не
задано, но известен закон движения
точки, то для определения силы можно
воспользоваться уравнениями (11) или
(12).Задача
1. Воздушный шар весом Р
опускается с ускорением а.
Какой груз Q(балласт)
надо сбросить, чтобы шар стал подниматься
с таким же ускорением.
На падающий шар действуют сила тяжести
Р
и подъемная сила F(рис.1,
а).
Составляя уравнение (2) в проекции на
вертикаль, найдем, чтоКогда
будет сброшен балласт (рис.1,б), вес шара
станет равен Р—
Q,
а подъемная сила останется той же.
Тогда, учитывая, что шар при этом движется
вверх, получимИсключаяиз
этих уравнений неизвестную силу F,найдемЗадача
2. Лифт
весом Р
(рис.2) начинает подниматься с ускорением
аОпределить
натяжение троса.
На лифт действуют, сила тяжести Р и
реакция троса Т.
Составляя уравнение (2) в проекции
на вертикаль, получим (P/g)a=T—P,откудаЕсли
лифт опускается с таким же ускорением,
то натяжение троса будет равно Т1=P(1—
a/g).Задача
3. Радиус закругления в точкеА
моста равен R(рис.3).
Найти, какое давление на мост в точкеА
окажет автомобиль массы т,
движущийся со скоростью и.
'щтшйж
I ГтгП
Рис.3 Рис.4
2
Решение.
22
mu
/R=mg—N,откуда
N=m(g-u
/R).
Решение.
X
=-т21cosmt=
-т2x.
(P/g)
т2x=
- Qи
Q=(P/g)
т2x.
Замечание.
х=f1(t),
У=f2(t),
z=f3(t). (10)
48
В точкеА
автомобиль имеет нормальное ускорение
an=u
/R.
При
этом на него действуют сила тяжести
P=mgи
нормальная реакция N.
Тогда
по уравнению (2), составленному в проекции
на нормаль, илинепосредственно
по второму из уравнений (12) будетСила
давления на мост равна по модулю N,но
направлена вниз.Задача
4. Кривошип ОА
длины l,
вращаясь равномерно с угловой скоростью
w,
перемещает кулису K,
движущуюся поступательно вдоль
направляющих
1
(рис.4). Найти, пренебрегая трением, чему
при этом равна сила давления QползунаА
на кулису, если вес кулисы Р.
Проведем координатную осьОх.
Тогда положение кулисы определится
координатной x=lcospи,
посколькур
= at,закон
движения кулисы будет x=lcosat.Зная
этот закон, воспользуемся первым из
уравнений (11). Вычисляя производную от
х, получимКроме
того, Qx=
- Q.В
результате находим
Следовательно,
сила давления ползуна на кулису
изменяется пропорционально расстоянию
х кулисы от оси О.
В рассмотренных задачах под весом Р
понимается сила тяжести.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Из
кинематики известно, что движение точки
в прямоугольных декартовых координатах
задается уравнениямиЗадачи
динамики точки состоят в том, чтобы,
зная движение точки, т. е. уравнения
(10), определить действующую на точку
силу или, наоборот, зная действующие
на точку силы, определить закон ее
движения, т. е. уравнения (10). Следовательно,
для решения задач динамики точки надо
иметь уравнения, связывающие координаты
х, у,
zэтой
точки и действующую на нее силу (или
силы). Эти уравнения и дает второй закон
динамики.Рассмотрим
материальную точку, движущуюся под
действием сил F1,F2,....,Fnпо
отношению к инерциальной системе
отсчета Oxyz.Проектируя
обе