бесконечности и скорости всех точек параллельны и_А. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что v_Acosa= v&osfi,т. е. v_B=v_A.Следовательно, в рас- сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению. Такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным.

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна и_А, то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис.23,б. Справедливость построений следует из пропорции (45). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Pнадо кроме направлений знать еще и модули скоростей и_А и и_В.

г) Если известны вектор скорости и_в какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость с, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к и_в (см. рис. 21), можно найти из равенства (44), которое дает BP=v_B^/c.

11. Сложное движение материальной точки

В ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум

системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом, называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движу- щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из

качения по отношению к палубе, и движение вместе с х.

Рис.24

палубой парохода по отношению к берегу. Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил.

Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета Oxyz,которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета OjXjyjZj, которую называем основной или условно неподвижной (рис.24). Введем следующие определения.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz),называется относительным движением. Такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними.ТраекторияАВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Охуzназывается относительной скоростью (обозначается и от), а ускорение —

41

относительным ускорением (обозначаетсяа от). Из определения следует, что при вычислении Оот и а от можно движение осей Охух во внимание не принимать.

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охух по отношению к неподвижной системе O₁x₁y₁z₁,является для точки Мпереносным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охух точки т, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М (обозначается Опер), а ускорение этой точки т — переносным ускорением точки М (обозначается апер). Таким образом,

Опер От, а пер — а_т (46)

Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охух, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе, отсчета O₁x₁y₁z₁называется абсолютным или сложным. Траектория CDэтого движения называется абсолютной траекторией, скорость — абсолютной скоростью (обозначается Оабс) и ускорение — абсолютным ускорением (обозначается а абс ).

В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость — относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью. Движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость — абсолютной скоростью шара.

Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями точки.

Рассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совершает за промежуток времени At=t₁- tвдоль траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором MM' (рис.25, а). Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Oxyz,перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение A1B1.Одновременно та точка т кривой АВ, с которой в момент времени tсовпадает точка М, совершит переносное перемещение mm₁=Mm₁. В результате точка М придет в положение М₁ и совершит за время Atабсолютное перемещение MM₁. Из треугольника Мт ₁М₁ имеем

MM1=Mm₁+ mM1 .

Деля обе части этого равенства на Atи переходя к пределу, получим

lim(MM, / At) = lim(Mm, / At) + lim(m,M, / At) .

At ^0 At ^0 At ^0

По определению

42

lim(MMJ At) = иа_бс,lim(Mm_x/ At) = и*

Рис. 25

Что касается последнего слагаемого, то, так как при At^ 0 кривая AjB₂стремится к совпадению с кривой АВ, в пределе

lim(m, M₁ / At) = lim(MM' / At) = и_от*

At ^0 At ^0

В результате находим, что

°абс =°от + ^Uпер * ⁽⁴⁷⁾

Направлены векторы и_абс ,и_от ,и_пер по касательным к соответствующим траекториям (рис* 25, б)*

Таким образом, мы доказали следующую теорему о сложении скоростей* Теорема 1*

При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Для ускорений точки справедлива следующая теорема Кориолиса [1]*

Теорема 2*

При сложном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного (кориолисова).

а - = а + а + а * (48)

абс от пер кор V /

Кориолисово ускорение характеризует изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении* Оно вычисляется по формуле

^акор = ²⁽®^хиот )^{, (49)}

где а - переносная угловая скорость (угловая скорость подвижной системы отсчета)*

43