Qu- - Qox =s Six, Q.y - Qoy =S Siy, Q1z - Qo z =s Siz. (66)

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задач она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы.

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю

S= о.

Тогда из уравнения (63) следует, что при этом Q =const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, Ох) равна нулю;

SFix= 0.

Тогда из уравнений (64) следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты выражают закон сохранения количества движения системы.

3. Теорема об изменении момента количества движения системы

Моментом количества движения (кинетическим моментом) системы относительно данного центра О, называется векторная величина К_о, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно данного центра

^Ко= S^mo^(тк^иК⁾. ⁽⁶⁷⁾

Аналогично определяются моменты количеств движения относительно координатных осей

^Кх=S^т х ^(тк°К⁾. К_у=S^т у ^(тк°К⁾. ^Кz =S^mz^(тк°К⁾. ⁽⁶⁸⁾

В качестве важного конкретного примера найдемК тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z.

Для любой точки, отстоящей от оси вращения на расстояние h_k,линейная скорость v_k=ah_k.Тогда

^Кz =S^т* ^(тк^иК⁾= mS^тА².

Последняя сумма представляет собой момент инерции тела относительно оси z. Окончательно

К_z=J_zm. (69)

Т. е. момент инерции тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела на угловую скорость.

Из теоремы 1. пункта 3.7 и равенства нулю суммы моментов всех внутренних сил следует теорема моментов для системы.

Теорема 1.

68

Т„„т=Z MU/2.	(73)
При вращательном движении вокруг неподвижной оси z
Твр= J,rn2/2.	(74)
При плоскопараллельном движении
Т,л„, =Z Ми /2 + J ю2/2.	(75)
Наконец, в общем случае
Т = ZМи2с /2 + JC1, со2/2,	(76)
где СР- ось, проходящая через полюс (см. рис.13).

Используя теорему 1. пункта 3.9, легко получить теорему об изменении кинетической энергии системы, как в дифференциальной, так и в интегральной форме

69

dT = S dAl +S dAk , T - To =S A +S A

(77)

Теорема 1.

Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ на данном перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Кроме кинетической, система может обладать и потенциальной энергией. Например, в поле силы тяжести П=mgz; в поле силы упругости П=кх/2. Их сумму называют полной механической энергией. Тогда справедлив закон сохранения энергии.

При движении системы под действием потенциальных сил ее полная энергия остается величиной постоянной.

Кратко рассмотренные в пунктах 3.12-3.15 общие теоремы динамики механической системы широко применяются для решения задач динамики твердого тела (см., например, главу XXVI в [1]).

70

Литература

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики /С.М.Тарг.-М.: Высш. шк., 2003.-416 с.

2. Бать М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах.Т.1 /И.М.Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С.Кельзон.-М.: Наука, 1990.-670 с.

3. Олофинская В.П. Техническая механика / В.П.Олофинская.-М.: ФРУМ.-ИНФРА-М, 2008.-349 с.

4. Мовнин М.С. Основы технической механики / М.С. Мовнин, А.Б.Израелит, А.Г.Рубашкин.-СПб.: Политехника, 2000.-286 с.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике /И.В.Мещерский.-М.: Наука, 1986.-448 с.

71

Учебное издание

ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Авторы-составители Шурыгин Виктор Юрьевич, Тимербаев Раис Мингалеевич

Подписано в печать Формат 60-84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Усл.печ.л. Тираж 200.

Изд-во ЕГПУ 4236000, г. Елабуга, л. Казанская,89.

72