ВеличинаА, равная наибольшему отклонению точки от центра колебаний О, называется амплитудой колебаний.

Легко видеть, что, начиная движение в момент t=0из положения Mo, точка вновь придет в это положение в момент времени t, для которого coskt_t=1,т.е. kt,=2 п.

Промежуток времени T=t,=2п/k,в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Беря производные по t,находим значения скорости и ускорения точки

v=v_x=—Aksinkt, а=а_х= —Ak²coskt. (25)

Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону. По знакам ииа легко проверить, что когда точка движется к центру колебаний, ее движение является ускоренным, а когда от центра колебаний,— замедленным.

Аналогичные колебания происходят и при законе x=Asinkt,только движение в этом случае начинается из центра О.

Гармонические колебания по закону s=Acoskt(или s=Asinkt)точка может совершать, двигаясь вдоль любой кривой. Все сказанное о характере движения при этом сохранится с той лишь разницей, что (25) будет определять касательное ускорение точки. Кроме него точка будет иметь еще и нормальное ускорение

an=v²/ р.

6. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Например, спарник АВ (рис. 9) при вращении кривошипов О₁А и О₂В (О₁А=О₂В) движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.

Теорема 1.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

31

Доказательство.

Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz.Выберем в теле две произвольные точкиА и В, положения которых в момент времени tопределяются радиусами-векторами r_Aи r_B(рис. 10). Проведем вектор AB, соединяющий эти точки. Тогда

^rA= ^rB+ ^AB. ⁽²⁶⁾

При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление ABостается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор ABво все время движения тела остается постоянным (AB =const).Вследствие этого, траектория точкиВ получается из траектории точки А ее параллельным смещением на постоянный вектор AB. Следовательно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства (26) по времени. Получим

dr_B /dt= dr_A/dt + d (AB)/dt.

Производная от постоянного вектора ABравна нулю. Производные же от векторов r_Bи r_Aпо времени дают скорости точекА и В. В результате получаем

^UA =^UB

Беря от обеих частей полученного равенства производные по времени, найдем:

du_A/dt= du_B /dtилиa_A=a_B.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

Из теоремы 1 следует, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки, которая уже рассмотрена.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость и называют скоростью поступательного движения тела, а ускореннееa— ускорением поступательного движения тела. Векторы ииaможно изображать приложенными к любой точке тела.

Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями.

7. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу,

32

остаются неподвижными. Проходящая через неподвижные точкиА и В прямая АВ называется осью вращения (рис. 11). Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны. Остальные точки тела будут описывать окружности.

Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения полуплоскость I — неподвижную и полуплоскость II, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (см. рис. 11).

Рис.11

Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом р между этими полуплоскостями. Измеряют угол р всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла р от времени t,т. е.

P=f(t) (27)

Уравнение (27) выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость о и угловое ускорение s.

Если за промежуток времени At=tj-tтело совершает поворот на угол Ар = р₁ - р, то средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет о _ср= Ар / At. В пределе при At^ 0 найдем, что

dp

о = ^ или dt

о = р.

(28)

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак р определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, о>0, а когда по ходу часовой стрелки, то о<0. Единицы измерения угловой скорости рад/с.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде векторао, модуль которого равен |о | и который

направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 12). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени

33