Vm„ (Fk ) = 0 и Vm (Fk') = 0.

Из данных свойств не следует, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел.

Движение системы зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

M=V m_k.

Распределение масс в системе определяется значениями масс m_kее точек и их взаимными положениями, т. е. их координатами х_k, у_k, z_k.Однако оказалось, что при решении многих задач динамики для учета распределения масс достаточно знать не все величины m_k, x_k, у}₁z_k„а лишь некоторое, выражаемые через них суммарные характеристики.

Одной из таких величин является центр масс системы. О распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах p_k=m_kgи P=Mg, после чего, сократив на g,найдем

^xc= V ^mk^xk, yc= -¹ V ^mkyk, ^zc = -¹V^mk^zk. M M M

Геометрическая точка С, координаты которой определяются данными формулами, называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определять его радиусом- вектором r_c, то

^rc=Mv^mk^rk ⁽⁵²⁾

где r_k— радиус- векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают. Но в отличие от центра тяжести понятие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом силовом поле (например, в центральном поле тяготения), и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смысл не только для твердого тела, но и для любой механической системы.

3. Момент инерции тела относительно оси

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz(или оcевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Jz= V mA²- ⁽⁵³⁾

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

62

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е.

что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (53) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии к от оси, J_k= тк . Единицей измерения момента инерции в СИ является 1 кг м .

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты х_k, y_k, z_kэтих точек. Тогда

Jx=Еm,-Y+ ZK), Jy =Xm_K(z, + X,), J_z =£ m_K(xK + YK) (54)

Радиусом инерции тела относительно оси Ozназывается скалярная величина p_Z, определяемая равенством

^JZ= ^Mpz,

где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Ozтой точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Формулы (53) и (54) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что dm = pdV,где р — плотность, aV — объем, получим

J_z= | к²dmили J_z= | рк²dV.

(V) (V)

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность р и расстояние hзависят от координат точек тела. Аналогично формулы (54) для сплошных тел примут вид

J_X=| p(y² + Z²)dVи т. д. (55)

(V)

Формулами (55) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность р будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

1. Тонкий однородный стержень длиной lи массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси Аz,перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис.10). Направим вдоль АВ координатную осьАх. Тогда для любого элементарного отрезка длины dxвеличина h=x,а масса dm = рjdx,где р j=M/l— масса единицы длины стержня. В результате формула (55) дает Заменяя здесь р₁ его значением, найдем окончательно

ll J_A = |X²dm =р₁1X²dx =р₁/³/ 3.

00

Ja=M/²/3.

63

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом Rи массой М. Найдем его момент инерции относительно

Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12

оси Cz,перпендикулярной плоскости кольца, и проходящей через его центр С (рис.11). Так как все точки кольца находятся от оси Czна расстоянии h_k=R,то

Jc=ЕmR² = (£ m R' = mr²-

Следовательно, для кольца

Jc=MR².

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой Ми радиусом Rотносительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом Rи массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси Cz_tперпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (рис.12). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом rи шириной dr. Площадь этого кольца 2п- dr,а масса dm=р²2п•dr,где р₂=М/nr² — масса единицы площади пластины. Тогда для выделенного элементарного кольца будет dJ_c=r²dm=2np₂r³dr,а для всей пластины

R

J_c= 2 пр₂1r³dr= пр₂R⁴ / 2.

0

Заменяя р₂ его значением, найдем окончательно

J_c=MR²/2.

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции J_zоднородного круглого цилиндра массой М и радиусом Rотносительно его оси (рис.12 б).

4. Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел.

а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами АВ=а и ВО=Ь (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось у — вдоль BD):

J_x=Mb²/3, Jy=Ma²/3;

б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом основания R(ось zнаправлена вдоль оси конуса):

Jz=0,3МR²;

64

m1ai	= F \	+f ;,
m2 a2	= F2	+F2,	(56)
n I « n mn	In N	+Fn.

Уравнения (56) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.

Проектируя (56) на какие-нибудь координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

При решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти какие-то характеристики, определяющие движение всей системы в целом. Поэтому уравнения (56) непосредственно не применяют, а применяют другие, разрабо­танные в динамике методы. К их числу относятся методы, которые дают широко используемые в инженерной практике общие теоремы динамики системы, получаемые как следствия уравнений (56).

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела) требуется знать закон движения ее центра масс. Чтобы найти этот закон, сложим почленно уравнения (56). Тогда получим

2^тк^ак = 2^fI+ 2^FK . ⁽⁵⁷⁾

65