Таким образом, величины F, а, в, Yи задают силу F. ТочкаА приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами х, у, z.

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями F_x, F_y, F_zна координатные оси. Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями

R'^R;+ Fy2 + F^ ,cos a=F_x/F, cos e=F/F, cos y=F/F. (5)

Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две осиОх и Оу. Тогда

F=pj+F_y²; cos a=F_x/F, cos e=F/F. (6)

Аналитический способ сложения сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно этой теореме, если Rесть сумма сил Fj, F₂ . . ., F_n,т. е. R= £ Fk,то

Rx=ZFx, Ry=ZFy, Rz=ZF_kz. (7)

Зная R_x, R_vи R_z,по формулам (5) находим

R=jR; + R + R;, (8)

cos a=R_x/R, cos e=R_y/R, cos y=R/R.

Формулы (7), (8) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид

Rx=Z Fkx, Ry=Z Fy, (9)

R^R; +R2 ,cos a=R_x/R, cos e=R/R.

В случае, когда силы заданы их модулями и углами с осями, то для приме­нения аналитического метода сложения необходимо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.

6. Условия равновесия системы сходящихся сил

Очевидно, что для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твер­дому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или в аналитической форме.

J. Геометрическое условие равновесия .

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически модуль главного вектора системы сил определяется формулой

R=pl+ к + R2.

11

Rобратится в нуль только тогда, когда одновременно R_x=0, R_y=0, R_z=0,т. е., как это следует из формул (7), когда проекции действующих на тело сил будут удовлетворять равенствам

DFkx= 0, XFky= 0, XFk, = 0. (10)

Равенства (10) выражают в аналитической форме условия равновесия пространственной системы сходящихся сил.

В случае плоской системы сходящихся сил получим два условия равновесия

D Fkx= 0, D Fky= 0. (11)

2. Теорема о трех силах. При решении задач статики иногда удобно пользоваться следующей теоремой, которая является следствием аксиом 2 и 3. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Обратная теорема места не имеет, т. е. данная теорема выражает лишь необходимое условие равновесия тела под действием трех сил.

7. Момент силы относительно точки

Данное понятие вводится для характеристики вращающего действия силы. Рассмотрим силу F, приложенную к телу в точке А (рис.14). Моментом силы Fотносительно точки (центра) О называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного из центра О в точку А, где приложена сила, на саму силу.

m₀( F)= rх F. (12)

Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки — моментом относительно центра. Используя геометрические соображения (см.[1]), можно дать и другое определение

Моментом силы Fотносительно центра О называется приложенный в центре О векторm₀(F), модуль которого равен произведению модуля Fсилы на ее плечо hи ко­торый направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту

12