интегрированием

^t1

S = JFdt. (22)

0

Если сила Fпостоянна и по модулю, и по направлению ( F=const),тоS= Ftj.Причем в этом случае и модуль S=Ftj.В общем случае модуль импульса

может быть вычислен по его проекциям на координатные оси

^t1 ^t1 ^t1 S_X=|F_Xdt, S_Y=|F_Ydt, S_Z =|F_Zdt. (23)

0 0 0

Единицей измерения импульса силы, как и количества движения, является в СИ 1 кг м/с.

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение a= du/dt,то основной закон динамики, можно представить в виде

d(m)fkk. (24)

Уравнение (24) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной, форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил .

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени t=0скорость и₀, а в момент tj— скорость и₁ . Умножим тогда обе части равенства (24) на dtи проинтегрируем в соответствующих пределах. В результате получим

^t1

mu₁- mu0 =ZjFк-t.

'1

0

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (22), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет

mu₁- mu0=ZSk (25)

Уравнение (25) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде.

Теорема 1.

Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (25) часто пользуются уравнениями в проекциях.

3. Теорема об изменении момента количества движения точки

При решении ряда задач в качестве динамической характеристики движения вместо самого вектора количества движения точки ти рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.

Эти моменты определяются так же, как и моменты силы.

Моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величинаm₀(mи), определяемая равенством

54

m₀(mu)=rxmu.

(26)

При этом вектор m₀(mu)направлен перпендикулярно плоскости, проходящей

через muи центрО,am₀(mu) =muh(рис.6)

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси 0_z, проходящей через центрО, будет равен проекции вектора m₀(mu)на эту ось

m_z (mu) =[m₀(mu)]_z= m₀(mu)

cosу,

(27)

где у— угол между вектором m₀(mu)и осью Oz.

Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временем вектор m₀(mu).

Теорема 1.

Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Чтобы доказать ее, продифференцируем по времени выражение ( 26). Получим

dГ

— (

rxmu) = dt

/

dr

dt

xmu

+

rxm

du

dt

= ( xmu)+ (r x ma)

uxmu=0как векторное произведение двух параллельных векторов, ama= F, где при действии нескольких сил F= ^ F_к. Следовательно,

d- - - - d\-(-\] —Ы

—(

rxmv) = rxF. или— [m₀ (mu)] = m₀(f).

(28)

Теорема доказана.

Сравнивая уравнения (28) и (24), видим, что моменты векторов muи Fсвязаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы тuи F.

Если спроектировать обе части равенства (28) на какую-нибудь ось Oz, проходящую через центрО, то, учтя соотношение (27), получим

d

dt

[^mz^(mO⁾]= ^mz^(F).

(29)

Это равенство выражает теорему моментов относительно оси. Из уравнения (29) следует, что если m₀(f) =0, то m₀(mv)=const.Т.е. если момент

действующей силы относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина

55

постоянная. Данный результат имеет место в практически важном случае движения в поле центральных сил (см.§86*в [1]).

3. Работа. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии

Элементарной работой силы F,приложенной в точке М (рис.7), называется скалярная величина

dA=Frds, (30)

где F_T— проекция силы Fна касательную М_Т к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки , ds— модуль элементарного перемещения точки М.

Если разложить силу Fна составляющие F_т и F_№ то изменять модуль скорости будет F_T= ma_T =mdu/dt .

Замечая, что F_T =Fcosа, где a — угол между Fи Мт,получим из (30) другое выражение

dA=Fdscosа. (31)

Если угола острый, то работа положительна. В частности, при а=0 элементарная работа dA=Fds.

Если угола тупой; то работа отрицательна. В частности, приа=180° элементарная работа dA = -Fds.

Если угола =90°, т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то ее работа равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая F_т направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая Fт направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Если учесть, что ds=\dr\, где dr— вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (31) можно представить в виде

dA = Fdr. (32)

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Если в формуле (32) выразить скалярное произведение через проекции векторов Fи rна координатные оси и учесть, что г_х=х, r_y=y, r_z=z,то получим аналитическое выражение элементарной работы

dA=F_xdx+F_yd_y+F_zdz, (33)

в которомx, y, z- координаты точки приложения силы F.

Рис.7 Рис.8

56

Работа силы на любом конечном перемещении M₀M₁(рис.7) вычисляется как криволинейный интеграл

(Mi)

AmMi)=j^FT^{ds, (34)}

(m0)

или

(Mi)

Amm ) = j (-^Fx^dx + ^Fy^dy + ^Fz^dz )•

(m0)

Следовательно, работа силы на любом перемещении М₀ М₁ равна взятому вдоль этого перемещения криволинейному интегралу от элементарной работы.

Если величина F_Т постоянна, то из (34), обозначая перемещение М₀ М₁ через s₁, получим

Am₀M₁) = ^FT^S1 . ⁽³⁵⁾

В частности, такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению ( F=const),а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис.7). В этом случае F_т=Fcosa=constи

Amm)=^Fsi^cosa . ⁽³⁶⁾

Единицей измерения работы в СИ является 1 джоуль (1 Дж=1Н м=1кг

2/ 2_Л м /с ).

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность N=A/t₁где t₁— время, в течение которого произведена работа А. В общем случае

N=dA/dt= F_Tds/dt= F_T u. (37)

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Единицей измерения мощности в СИ служит 1 ватт (1 Вт=1 Дж/ с=1 Нм/с).

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина mu²/2,равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости. Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ — 1 Дж).

Связь между работой и кинетической энергией выражает теорема об изменении кинетической энергии точки.

Теорема 1.

Изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Доказательство.

Рассмотрим материальную точку с массой m,перемещающуюся из положения M₀,где она имеет скорость и₀, в положение М₁ где её скорость и₁.

Проектируя основной закон динамики ma = VFkна касательную к траектории точки М, направленную в сторону ее движения, получим

mat= V F.

кт

57