3.8.2. Какие имеются методы построения классической логики высказываний?

Существуют два метода построения логики высказываний:

аксиоматический и натуральный метод (естественный, приближенный к формам рассуждения в естественном языке).

3.8.2.1. Аксиоматический метод и натуральный метод (естественный, приближенный к формам рассуждения в естественном языке) построения языков классической логики.

Аксиоматический метод имеет следующую структуру: аксиомы - сложные высказывания, принимаемые без доказательства, истинность которых считается исходным основанием для вывода других сложных высказываний в данной системе.

Правила построения синтаксически правильных выражений (формул) аксиоматического языка логики высказываний.

Правила вывода из аксиом и других, ранее выведенных (доказанных) формул в данном языке логики высказываний.

Семантические правила интерпретации всех возможных синтаксически правильно построенных формул в языке логики высказываний и формул, полученных с помощью правил вывода из аксиом и других, ранее выведенных (доказанных) формул в данном языке логики высказываний.

В качестве семантических правил интерпретации используется метод описания состояний по истинности и ложности между простыми высказываниями в сложном высказывании (формуле), которой называется методом построения таблиц истинности для доказанных формул или просто синтаксически правильно построенных формул в данном языке.

3.8.2.2. Пример языка классической логики высказываний.

Алфавит: Символы - пропозициональные переменные для представления простых высказываний: (А, В, С, Д, и т. д.) или (p,q, r,s, t,f,h,k,l,z,c…). Их написание произвольно и количество бесконечно. Вместо пропозициональных переменных можно подставлять конкретные простые выказывания.

Символы для логических связок, логических функций: «&» - конъюнкция . «V», - дизъюнкция слабая, или. «V») - дизъюнкция строгая (либо), «→»-импликация («если, то»), «=» - эквивалентность («тогда и только тогда»), «7» - отрицание («не» или «неверно, что»).

Понятие п.п.ф. (синтаксически правильно построенной формулы) или языкового выражения в языке логике высказываний:

1) Отдельная переменная, например, а есть формула.

2)Если А и В формулы, то (А & В), (А VВ,( А V В), (А → В), ( А =эквивалентно В), («7А» ) и «7В» также являются формулами.

Множество простых правильно построенных формул«п.п.ф.», а также множество комбинированных правильно построенных формул «п.п.ф.» является бесконечным.

Формула, правильно составленная из пропозициональных переменных и нескольких символов логических связок называется комбинированной:

((((А→D)→(В→C))&(AVB))→( DVC)).

Простые и сложные формулы логики высказываний называются пропозициональными функциями, поскольку только после подстановки в них объектов предметной области языка логики высказываний они преобразуются в конкретные высказывания.

Правило подстановки.

1) Пропозициональные переменные разрешается переименовывать в простых и сложных формулах:

например, А можно заменить на В (А/В).

Сложную формулу, например, формулу (А→(В→А)), можно

переименовать на формулу - (p→(q→p)).

Можно также делать подстановку вместо простых формул типа(p,q) сложных формул типа (rvt) и (lvm)..

Пример. Если р/(rvt), иq/(lvm ), то получаем формулу вида( rvt→(lvm→rvt ).

2) При интерпретации формул логики высказываний вместо символов пропозициональных переменных и символов логических связок разрешается подстановка языковых выражений естественного языка или языка дисциплины.

Пример. Формула « А&В» в результате подстановки вместо «А» предложения «Светит солнце». И подстановки вместо «В» предложения - «Идет дождь». И замены «^» на «и» получается предложение «Солнце светит и идет дождь».

Правила вывода. Они делятся на основные и производные.

1) Основные правила вывода при аксиоматическом построении логики высказываний предназначены,

во-первых, для вывода

из аксиом логики высказываний логических формул (теорем) языка этой логики.

И, во-вторых, для вывода или доказательства других формул из аксиом и ранее выведенных, доказанных теорем.

В логики высказываний правила вывода отождествляются с понятием доказательства и представлены в двух видах.

В виде схем вывода и логических формул.

Многие из этих правил вывода были известны уже стоикам четвертого века до нашей эры:

Например, им было, известно, правило отделения, как схема вывода: «Если из А следует В. И имеет место быть - А, то следует признать, что имеет место быть – В».

Другое название этого правила, идущее от средневековой логики, - модус ронес. Правило это позволяет от утверждения условного суждения. И утверждения его основания (антецедента, в данном случае-А) перейти к утверждению его следствия (консеквента, в данном случае - В).

Это правило гарантирует вывод истинного следствия из истинных посылок.

В логике высказываний правило отделения является основным правилом, как схемой вывода и одновременно как логической формулой ((А →В) & А) → В),, представляющей закон логики.