6)Правила вывода и преобразования формул.

Вводятся четыре правила для введения и исключения в доказательстве кванторов.

Правила введения кванторов:

С→ Q(х) Правило введения квантора общности. ∏(х)

С → ∏(х) Q( х)

Читается так: Если каждый предмет множества «С» обладает свойством- Q, то можно утверждать, что каждый предмет этого множества обладает свойством- Q.

Здесь и далее черта «----------» означает «следует».

Q (х) →С Правило введения квантора существования. E(х)

E(х)Q (х) → С .

Правила исключения кванторов:

С → ∏(х)Q( х)

С→ Q (х).

E(х)Q (х) →С

Q (х) → С .

Правила перестановки кванторов:

Например. E(х)E(у)Q (х, у)= E(у)E(х)Q(у, х).

Эти правила должны учитывать предметную область аксиом и теорем языка исчислений, логики предикатов.

Иначе перестановка кванторов приведет от истинного высказывания к ложному высказыванию:

∏(х) E(у)Q (х, у)- истинно в интерпретации:

« Для каждого государства -∏(х), существует город- E(у), который является его столицей-«(Q)», где х - город, у - столица.

Но формула E(у)∏(х) Q(у, х)- будет после перестановки и интерпретации ложной. Нет такого города, который был бы столицей для всех государств.

Аксиомы языка логики предикатов включают аксиомы логики высказываний классической логики и имеют собственные, которые относятся к формулам с кванторами.

Они же удовлетворяют принципу независимости или излишеству: требование невыводимости друг из друга.

Все они являются истинными, тавтологиями, в любой предметной области интерпретации, например, языка узкого

Исчисления предикатов, в котором имеются только одноместные предикаты вида Р (х), Q(у) и т.д.

Пример аксиом.

∏ (х)В(х) → В(у) -Все, что можно утверждать о всех элементах некоторого класса, можно утверждать и об отдельных элементах этого класса.

Q (х) → E(у) - если какой-то предмет обладает свойством Q,то можно утверждать, что «некоторые предметы обладают свойством Q».

∏ (х) В(х) → E(х) В (х)- аналог закона логического квадрата « Все S есть P. → Некоторые S есть P.».

Правила интерпретации для функций высказываний с кванторами предполагают следующую трактовку кванторов, например, с одноместными предикатами: ∏(х) В(х) – класс предметов, каждый предмет которого имеет свойство В.

E(у) В (у)- класс предметов, состоящий хотя бы из одного предмета, имеющего свойство В.

3.9.3.Что нового в логику внесло создание и исследовании языков исчислений, логики предикатов?

Во-первых, расширение области применения этих языках за границы только логики позволило представить в формализованном виде почти все известные нам формы, схемы и законы рассуждений, которые реализуются в разнообразных сферах мыслительной деятельности человека.

Во-вторых, на основе языков исчислений, логики предикатов были выявлены проблемы формализации в целом:

-непротиворечивость теории,

-полнота теории

и проблема разрешимости теории.

Теория противоречива, если в ней доказуема формула и формула, являющаяся ее отрицанием.

Доказано, что силлогистика Аристотеля, логика высказываний и узкого исчисления предикатов являются непротиворечивыми теориями.

Они же полны и разрешимы.

Принцип полноты означает, что истинные высказывания, например, аксиоматической теории, являются доказуемые в ней и, обратно, все доказанные в ней теоремы являются при интерпретации истинными.

Теория разрешима,

если в ней есть алгоритм, который позволяет установить является ли конкретное истинное высказывание доказанным в теории на основе ее законов и правил вывода.

В 1931году австрийский логик, математик К. Гедель доказал, что аксиоматические теории расширительного характера не имеют собственных логических средств доказательства собственной непротиворечивости и полноты.

Что бы это осуществить надо перейти в более широкую теорию и так до бесконечности.