7.6. Что представляют собой суждения с отношениями?

Простые суждения с отношениями. Простые суждения, в которых устанавливается отношение между предметами различного рода, называются суждениями с отношениями.

Пример. (А больше В). (Сидоров является родственником Б). (Город «В» находится между городами «Д» и «Т»). (Роман любит Веру).

Отношения, выраженные в суждениях, могут иметь следующие свойства:

Рефлективность- ( а=а).

Симметричность - ((а=в)= (в=а)).

Транзитивность - ((а=в)и (в=с), то (а=с)).

Функциональная однозначность – отношение, когда каждому предмету(субъекту отношения) однозначно соответствует предмет в контексте данного отношения. Пример: «Х есть отец У».

Эти свойства отношений необходимо учитывать, когда суждения с отношениями используются как посылки в непосредственных умозаключениях.

7.7. В чем специфика суждений существования?

Это простые суждения, в которых употребляются термин «существуют» и ему родственные термины по значению.

Пример, «Существует человек, рост которого равен 200 метров».

В символической записи это суждение имеет вид: E(x) A(x), которое читается следующем образом. «Существует предмет Х, который обладает свойством «А».

Специфика этих суждений выражена в интерпретации частного квантора традиционной логики через правила введения и исключения квантора существования в современной логике:

Правила введения квантора существования:

Q(х)→ С

E(х) Q (х) →С

Читается так: Если предмет из множества «С» обладает свойством-Q, то можно утверждать, что этот предмет существует E(х) Q (х). Здесь и далее черта «---------»- означает «следует».

Пример.( 1) Если некий предмет из определенной предметной области выполняет какое-то условие, например, имеет рост 200 метров, то можно сказать, что этот предмет существует.

Правило исключения квантора существования:

E(х)Q (х) →С

Q (х) → С .

Читается так: Если существует предметная область, в которой формула E(х) Q (х) выполнима, значит, в этой области имеется предмет, который удовлетворяет условию(Q ).

Пример. Высказывание « Существует предмет х, который удовлетворяет условию х+3=8», выполнимо в области натуральных чисел. Следовательно, есть число, которое удовлетворяет условию: «х+3=8» и этим числом является. Поэтому в Q (х) мы можем подставить имя этого числа, например, «в». Упрощенно это можно записать так;

E(х) Q (х) → Q (в) и Q (в) →E(х) Q (х).В общем смысле с формальной логической точки зрения, существовать – это значит быть предметом, обладающим свойством, или отношением к другим предметам.

7.8. Как записываются и читаются категорические атрибутивные суждения «(a), (I), (e), (o)» на языке исчисления предикатов?

Все S есть P.(А).= ∏(x) (S(x) →P(x)).

Общеутвердительные суждения. S а P. Для каждого «х», если «х» обладает свойство S , то он обладает и свойством Р.

Некоторые S есть P.=E (x) (S(x) &P(x)).Частноутвердительные суждения.-SiP.Существуют такие «х», которые обладают свойствамиS и P.

Ни один S не есть P.(E).=∏(x) (S(x) →7p(x)).Общеотрицательные суждения. S е P. Для каждого «х», если он обладает свойством S, то он не обладает свойством Р.

Некоторые S не есть P.(O).=E(x)(S(x) & 7P(x)).Частноотрицательные суждения. S o P. Существуют такие «х», которые обладают свойствами S и P.

7.9. Что такое логический квадрат? Это схематическое изображение отношение по истинности и ложности между простыми категорическими атрибутивными суждениями«(A), (I), (E), (O)», расположенные в углах квадрата следующим образом:

А. Е. O.

По диагоналям – это отношение контрадикторности или логического противоречия, иначе говоря, логической не совместимости по истинности и ложности суждений (А) и (О), а также суждений (Е) и(I). Они не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными.

По горизонтали вверху– это отношение логической противоположности или контрарности между сужениями (А) и (Е). Они могут быть одновременно ложными, но не одновременно истинными. Если одно из них истинно, то другое является ложным. Но если одно из них ложно, то другое может быть как истинным, так и ложным.

По горизонтали внизу - это субконтрарность или отношение частичной совместимости по истинности суждений (I)и(O). Они могут быть одновременно истинными, но если одно из них является истинным, то второе может быть как истинным, так и ложным.

По вертикали от суждения (А) к суждению (I)- это отношение логического подчинения или дедуктивного следования. Это означает, что если (А) истинно, то (I)-обязательно истинно. И если суждение (А) ложно, то (I) тоже ложно.

Аналогичное отношение имеет место от суждения Е к суждению О. Если суждение Е истинно, то суждение О должно быть истинным. Здесь также дедуктивное следование.

По вертикали снизу от суждения (I) к суждению (А)- это отношение индуктивного следования. Это означает, если сужение(I) истинно, то суждение может быть ложным. И если суждение (I) ложно, то суждение (А) должно быть ложным.

По вертикали снизу отношение от суждения (О) к суждению (Е) аналогично отношению от суждения от суждения (I) к суждению (А). Если суждение (О) истинно, то суждение (Е) может быть и ложным. Здесь также индуктивное следование.