2.3.5. Сложение пар, расположенных в одной плоскости

Система пар, расположенных в одной плоскости может быть заменена одной парой, расположенной в той же плоскости с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

Пусть на тело действует система пар , , , расположенных в одной плоскости (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Согласно теореме об эквивалентности пар, у любой пары можно произвольно менять силу и плечо пары, сохраняя неизменным его момент. Примем для всех пар одно и то же плечо d = AB (рис. 2.10). Следовательно, силы пар должны быть соответственно равны:

; ; .

Приложим силы к точкам А и В. Сложив силы, получим их равнодействующие:

; .

Силы и образуют новую пару, поскольку и =- , с общим плечом d:

.

Если на тело действует n пар, лежащих в одной плоскости, то результирующая пара равна их алгебраической сумме:

.

Из полученного результата вытекает условие равновесия пар: для равновесия пар, расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар была равна нулю:

.

2.3.6. Теорема о моменте равнодействующей плоской системы сходящихся сил (теорема Вариньона)

Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Рассмотрим плоскую систему сил, сходящихся в точке А.

Выберем произвольную точку О и соединим ее с точкой А. Через точку О проведем ось Ох перпендикулярно ОА. Ось х направим так, чтобы проекция силы на эту ось и величина момента силы относительно точки О были одинакового знака. Спроецируем все силы на ось Ох: , ,…, .

Момент силы относительно точки О: и т.д. . Сложим сходящиеся силы. Равнодействующая сходящихся сил равна . Спроецируем векторное равенство на ось Ох: . Умножим левую и правую части полученного выражения на ОА, получим: , , . Следовательно, = .

Теорема доказана.

Эта теорема позволяет определить момент силы относительно центра в том случае, если определение плеча силы вызывает затруднение.

Пример. Определить момент силы , приложенной к раме, относительно точки А (рис. 2.12). Разложим силу на составляющие и и определим их моменты относительно выбранной точки.

Рис. 2.12

Согласно теореме Вариньона:

.

2.3.7. Задания для самостоятельной работы по теме «Момент силы относительно центра»

Пример. В точке A, координаты которой x_A =3м и y_A=2м, приложена сила (рис. 2.13), модуль которой =2кН. Угол наклона силы к оси Ox равен α=135.

Момент силы относительно начала координат O равен…

	Варианты ответов
	1) кН 2) кН 3) кН 4) кН
Рис. 2.13

Решение: Согласно теореме Вариньона момент силы относительно точки O равен: .

= кН.

Ответ: кН.

Самостоятельно решите следующие тестовые задания:

а)

В точке A, координаты которой xA = 2м и yA = 1м, приложена сила (рис. 2.14), модуль которой =2кН. Угол наклона силы к оси Ox равен =30.	Варианты ответов
	1) кН 2) кН 3) кН 4) кН
Рис. 2.14
Момент силы относительно начала координат O равен…

б)

В точке A, координаты которой xA = 1м и yA = 2м, приложена сила (рис. 2.15), заданная своими проекциями на оси координат: =3кН и =4кН.	Варианты ответов
	1) -4 кН 2) -3 кН 3) -1 кН 4) -2 кН
Рис. 2.15
Момент силы относительно начала координат O равен…

в)

Линия действия силы касается окружности, как показано на рис. 2.16. Радиус окружности R = 3м, модуль силы =4 кН.	Варианты ответов
	1) 14 кН 2) 13 кН 3) 12 кН 4) 11 кН
Рис. 2.16
Момент силы относительно начала координат O равен…

г)

В точке A, координаты которой xA = -2м и yA = 3м, приложена сила (рис. 2.17), заданная своими проекциями на оси координат: =-1кН и =5кН.	Варианты ответов
	1) -8 кН 2) -5 кН 3) -6 кН 4) -7 кН
Рис. 2.17
Момент силы относительно начала координат O равен…