1.5.6. Условия равновесия плоской системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю.

1) Геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут (конец вектора последней слагаемой силы должен совместиться с началом вектора первой слагаемой силы). Тогда главный вектор системы сил будет равен нулю ( ).

2) Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы сил определяется по формуле . Поскольку , то подкоренное выражение может быть равно нулю только в том случае, если каждое слагаемое одновременно обращается в нуль, т.е.

R_x = 0, R_y = 0, R_z = 0.

Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трёх координат осей были равны нулю:

, , .

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:

, .

3) Теорема о трех силах. При решении некоторых задач статики можно воспользоваться следующей теоремой: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости (рис. 1.29), то линии их действия пересекаются в одной точке (необходимое условие равновесия твердого тела).

Рис. 1.29

Это условие равновесия не является достаточным, т.к. равнодействующая этих сил может оказаться не равной нулю.

Достаточным условием является наличие замкнутого силового треугольника при одновременном пересечения линий действия трех сил в одной точке.

Рассмотрим тело, на которое действуют три непараллельные силы , и (рис. 1.30).

Рис. 1.30

Так как эти силы непараллельны, то две любые силы, например, и должны пересечься в некоторой точке А. Перенесём силы и вдоль линии их действия и приложим их к точке А. Заменим сходящиеся силы и их равнодействующей .

Следовательно, теперь на тело действуют только две силы и . Поскольку тело находится в равновесии под действием двух сил, то согласно первой аксиоме статики, эти силы должны действовать вдоль одной прямой АВ. Таким образом, линия действия силы должна проходить через точку А.

1.5.7. Методические указания к решению задач по исследованию условий равновесия системы сходящихся сил

Задачи данного типа могут решаться либо геометрическим (графическим) способом, либо аналитическим. При решении задач геометрическим (графическим) способом необходимо придерживаться следующего порядка:

1. Выделить тело (или точку), равновесие которого следует рассмотреть.

2. Изобразить все активные (заданные) силы, действующие на выделенное тело.

3. Освободить это тело от наложенных на него связей, заменив их действие реакциями связей.

4. Построить замкнутый силовой многоугольник (или треугольник – если действуют три силы). При этом следует сначала сложить все заданные, а затем достроить неизвестные силы.

5. Решить силовой многоугольник (по известным элементам определить неизвестные) или, если силовой многоугольник построен в масштабе, определить искомые силы по масштабу.

При решении задач аналитическим способом рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Выделить точку, равновесие которой надо рассмотреть.

2. Изобразить активные (заданные) силы.

3. Освободить точку от связей, приложив соответствующие реакции. При этом необходимо убедиться, что данная задача является статически определимой – число неизвестных величин должно быть не более двух или трех (в случаях плоской и пространственной систем сходящихся сил соответственно).

4. Направить оси координат.

5. Составить уравнения равновесия системы сходящихся сил, из которых можно найти неизвестные величины.

Пример. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров (рис. 1.31). На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р = 1000 Н.

Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α = 30° и β = 60°.

Рис. 1.31

Задачу можно решить либо аналитически, либо графически.

I. Геометрический способ. Очевидно, что объектом исследования в данной задаче является болт C, т.к. именно к нему приложены заданная сила и стержни AC и BC, реакции которых нужно определить. Отбросим связи, заменив их действие реакциями.

Построим замкнутый треугольник abc (рис. 1.32) для сил , и (т.к. болт C находится в равновесии), начав построение с известной силы , которую изобразим вектором , тогда вектор определит силу , а вектор - силу . При этом следует учесть, что известны только направления реакций связей.

Рис. 1.32

Измерив отрезки и выбранной единицей масштаба, найдем величины неизвестных сил и и задача будет графически решена.

Величины неизвестных сил и можно найти тригонометрически, решив силовой треугольник abc, т.е. в этом треугольнике известны сторона ab и два угла α и β.

Итак, построим в масштабе вектор (который, как и , направлен вертикально вниз) из точки a под углом α прведем одну линию, из точки b проведем вторую линию под углом β до пересечения их в точке с, треугольники ΔАВС и Δabc подобны.

- по условию задачи, следовательно, Δabc – прямоугольный. Из этого треугольника находим:

Н

Н.

II. Аналитический способ. Выполним пункты 1-3 аналогично, как и при решении задачи графическим способом. Поэтому продолжим решение данной задачи с пункта 4 – выберем систему координат. Так как угол между неизвестными силами и равен 90°, то удобнее всего направить по линиям действия этих сил оси координат.

Направим Ох по линии действия , а ось Оу – по линии действия (рис. 1.33).

Рис. 1.33

Для данной плоской системы сходящихся сил составим 2 уравнения равновесия:

; ;

Н.

; ;

Н.

При аналитическом способе заранее неизвестно, в какую сторону направить реакции стрежней вдоль прямых АС и ВС. Если в результате решения получим положительные значения, то реакции были направлены верно, если получим отрицательные, то выбранное направление реакции изменим на противоположное.

2. Система сил, расположенных

в одной плоскости

2.1. Система параллельных сил.

Сложение двух параллельных сил

Сложение параллельных сил геометрическим способом по правилу параллелограмма сил не представляется возможным. Для решения поставленной задачи используем метод приведения параллельных сил к сходящимся силам.

Пусть на тело действуют две параллельные силы и (рис.2.1).

Рис.2.1

Приложим к телу в точках А и В две равные по величине, но противоположные по направлению силы и и сложим их с заданными силами и , получим равнодействующие этих сил и . Эти силы непараллельны и лежат в одной плоскости. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Переносим эти силы и вдоль линии их действия и приложим их к точке К.

Далее, разложим эти силы на составляющие , и , . Силы и можно отбросить как уравновешенные силы. Следовательно, на тело к точке К будут действовать только две силы и , которые по величине равны силам и . Сумма сил и (равнодействующая ) направлена вдоль одной прямой: . Из подобия треугольников КСА и КМL и треугольников KCB и KON находим: , , , , отсюда , окончательно: , , .

Таким образом, две параллельные силы, направленные в одну сторону, имеют равнодействущую, параллельную им, равную по величине их сумме и направленную в ту же сторону. Линия действия равнодействующей силы расположена между линиями действия заданных сил и делит отрезок прямой между линиями действия этих сил на части, обратно пропорциональные силам.