4.2. Методические указания к решению задач по исследованию условий равновесия плоской фермы

1. Проверить, выполняется ли условие статической определимости фермы: С = 2·У-3, где С – число стержней фермы, У – количество узлов.

2. Отбросить связи, приложив соответствующие реакции. Составить уравнения равновесия для всей фермы, из которых определить реакции связей. Выполнить проверку правильности решения, составив уравнение равновесия моментов сил относительно точки.

3. Согласно лемме о «нулевых» стержнях следует удалить стержни, усилия в которых равны нулю. Пронумеровать оставшиеся стержни и проверить «исправленную» ферму на статическую определимость.

4. Применить способ вырезания узлов. Составить уравнения равновесия для каждого узла фермы.

5. Совместно решить полученную систему уравнений относительно неизвестных усилий в стержнях фермы. Если в результате расчета значение усилия в стержне получится отрицательным, это означает, что данный стержень сжат.

6. Проверить результаты расчета фермы способом сечений (Риттера). Для этого ферму в каком-либо месте рассекаем плоскостью, действие стержней заменяем их реакциями и составляем уравнения отсеченной части. Уравнения равновесия в форме сил или моментов следует составлять так, чтобы эти уравнения содержали бы не более одной неизвестной силы.

7. Проверить результаты расчета графическим способом (построением диаграммы Максвелла-Кремоны): если расчет выполнен верно, то диаграмма будет замкнута, в противном случае – диаграмма не замкнется.

4.3. Пример выполнения расчетно-графической работы по теме «Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы»

4.3.1. Расчет плоской фермы методом вырезания узлов

Способ вырезания узлов сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов. Для этого в качестве объекта исследования один за другим выбирают все узлы фермы. Для каждого из них составляют расчетную схему сил и уравнения равновесия. Способом вырезания узлов удобно пользоваться, когда нужно найти усилия во всех стержнях фермы.

Пример: к узлам плоской фермы (рис. 4.8) приложены внешние силы: Р₁ = 1 кН, Р₂ = 5 кН, Р₃ = 2 кН, Р₄ = 2 кН, Р₅ = 3 кН, Р₆ = 3 кН. Необходимо определить усилия в стержнях фермы.

Рис. 4.8

Решение:

1. Стержни фермы будем заранее считать растянутыми, тогда положительным усилиям соответствуют растянутые стержни, отрицательным – сжатые. Стержни фермы пронумеруем арабскими цифрами (1, 2, …, 9), узлы – римскими цифрами (I, II,…,VI) (рис. 4.8). В рассматриваемой ферме число узлов У =15, число стержней С =27.

Условие статической определимости фермы:

С = 2·У–3 27 = 2·15-З.

Условие статической определимости выполняется. Ферма статически определима.

2. Отбросим внешние связи и составим уравнения равновесия для всей фермы:

∑Fkх=0; XB + P1 - P4 = 0	(1)
∑Fkу=0; NA - P2 - P3 - P5 - P6 + YB = 0 => YB = P2+ P3 + P5 + P6 - NA	(2)
∑mВ(Fk)=0; P1·2·a + P2·5·a + P3·4·a + P4·2·a + P5·2·a + P6·a - NA·6·a = 0	(3)

Из уравнения (1) находим: X_В = P₄ - P₁ = 2-1 = 1 кH.

Из уравнения (3) находим: N_A = 8 кH.

Из уравнения (2) Y_B = 5кH.

Проверка. Составим уравнение равновесия моментов сил относительно точки А:

∑m_A(F_k)= Y_B·6·a + P₁·2·a - P₂·a - P₃·2·a + P₄·2·a - P₅·4·a - P₆·5·a =

= (5·6 + 1·2 – 2·2 + 2·2 – 3·4 – 3·5 - 5)·a = (36 - 36)·a = 0.

Опорные реакции определены верно.

3. Согласно лемме о «нулевых» стержнях по признаку I усилия в стержнях 26 и 27 равны нулю, поэтому эти стержни следует удалить. По признаку 2 леммы стойка 14 «нулевая»; усилие в стержне 1 равно нулю по признаку 3. Удалим из схемы фермы все «нулевые» стержни, а силу Р₁ как скользящий вектор вдоль линии ее действия и приложим к узлу III.

4. Пронумеруем оставшиеся стержни и проверим «исправленную» ферму на статическую определимость (рис. 4.9).

Рис. 4. 9

Арабскими цифрами обозначены номера стержней, римскими цифрами – номера узлов. Число узлов равно 12, число стержней равно 21. Условие статической определимости запишем в виде: С = 2·У-3 = 2·12-3 = 21. Ферма жесткая, статически определимая.

5. Применим способ вырезания узлов. Составим уравнения равновесия для каждого узла фермы.

Результаты запишем в виде табл. 4.1.

Таблица 4.1

Результаты расчетов

	Уравнения равновесия для первого узла фермы: ; , где: ; .
	Уравнения равновесия для второго узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для третьего узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для четвертого узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для пятого узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для шестого узла фермы: ; .

Окончание табл. 4.1

	Уравнения равновесия для седьмого узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для восьмого узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для девятого узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для десятого узла фермы: ; .
	Уравнения равновесия для одиннадцатого узла фермы: ; .

Совместно решаем полученную систему уравнений относительно неизвестных .

Результаты решения:

S₁=-4кН; S ₂=8,94кН; S ₃=-4кН; S ₄=-5кН;

S ₅=-3,35кН; S ₆=4,5кН; S ₇=2кН; S ₈=4,5кН;

S ₉=-2,24кН; S ₁₀=-4кН; S ₁₁=-1,12кН;

S ₁₂=2,24кН; S ₁₃=1,12кН; S ₁₄=3,5кН; S ₁₅=3кН;

S ₁₆=3,5кН; S ₁₇=-1,5кН; S ₁₈=-2,24кН;

S ₁₉=-3кН; S ₂₀=5,59кН; S ₂₁=-1,5кН.

Если в результате расчета значение усилия в стержне получится отрицательным, это означает, что данный стержень сжат.

6. Проверка правильности решения.

Уравнения равновесия для двенадцатого узла фермы: ; ; 1 - (-1,5) - 5,59·0.447214=0; 5 - 5,59·0.894427 = 0.

Расчет произведен верно.