6.2. Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике – при использовании правила Верещагина.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:
|
;
;
,
где
Р
- вес всего тела;
- вес частиц тела;
,
,
- координаты частиц тела.
Для
однородного тела вес всего тела и любой
её части пропорционален объёму:
,
,
где
- вес единицы объёма, V
- объем тела. Подставляя выражения P,
в формулы определения координат центра
тяжести и, сокращая на общий множитель
,
получим:
|
;
;
.Точка С, координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема.
Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:
|
;
,
где
S
– площадь всей пластины;
- площадь её части;
,
,
- координаты центра
тяжести частей пластины.
Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади.
Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х:
|
;
.Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:
|
;
.Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:
|
;
;
,где
- длина всей линии;
- длина ее частей;
,
,
- координата центра тяжести частей
линии.
6.3. Способы определения координат центров тяжести тел
Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное твердое тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит, соответственно, в данной плоскости, оси или центре.
2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).
Пример. Определить координаты центра тяжести пластины, изображенной на рис. 6.3.
Рис.6.3
Решение: Для нахождения центра тяжести пластины разбиваем ее на три прямоугольника и отмечает центры тяжести каждого из них: C1, C2 и C3. Затем определяем координаты центров тяжести каждого прямоугольника и их площади:
S1 = 500 см2; xс1 = 5 см; yc1=25 см.
S2 = 200 см2; xс2 = 20 см; yc2=5 см.
S3 = 300 см2; xс3 = 35 см; yc3=15 см.
Тогда координаты центра тяжести пластины, согласно формулам из раздела 6.2, будут равны:
см;
см.
Ответ:
см;
см.
3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.
Пример. Определить центр тяжести круглой пластины, имеющей вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).
Рис.6.4
Решение:
Круглая пластина имеет центр симметрии.
Поместим начало координат в центре
пластины O1.
Площадь пластины без выреза S1=
πR2,
,
площадь
выреза S2
=
πr2
=
π0,36R2.
Площадь пластины с вырезом S2
=
=πR2(1
- 0,36)= 0,64πR2;
.
Пластина с вырезом имеет ось симметрию О1x, следовательно, yc=0.
.
4.
Интегрирование.
Если тело нельзя разбить на конечное
число частей, положение центров тяжести
которых известны, тело разбивают на
произвольные малые объемы
,
для которых формула с использованием
метода разбиения принимает вид:
.
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:
; 
; 
.
Аналогично, формулы для определения координат центра тяжести площади:
; 
.
Формулы для определения положения центра тяжести линии имеют вид:
; 
; 
.
Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.
Пример. Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).
Решение:
Дуга окружности симметрична оси Ох,
следовательно, центр тяжести дуги лежит
на оси Ох,
yс
= 0. Выделим на дуге AB
элемент длиной
,
положение которого определяется углом
.
Координата x
этого элемента будет равна
.
Рис. 6.5
Тогда, согласно формуле определения центра тяжести линии, получим:
,
где
– длина дуги AB.
6. Экспериментальный способ. Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Рис.6.6
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).
;
;
.
Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.