7.3. Методические указания по исследованию условий равновесия тел при наличии трения

Исследование равновесия тел с учетом трения сводится к рассмотрению предельных положений равновесия.

1. Выделяем тело (систему тел), равновесие которого следует рассмотреть.

2. Расставляем все активные силы, действующие на твердое тело (систему тел).

3. Изображаем систему координат.

4. Освобождаем тело от связей, заменяя их действие силами реакций. Реакцию шероховатой поверхности представляетм в виде нормальной реакции и силы трения _тр.

5. Составляем уравнения равновесия для выделенного тела (системы тел).

6. Решая полученную систему уравнений, определяем искомые величины.

Пример. Однородная лестница АВ весом Р опирается своим нижним концом на горизонтальный шероховатый пол, а верхним концом – на шероховатую вертикальную стену. Коэффициент трения лестницы о пол и стену одинаков и равен f₀. Определить реакции пола N_A и стены N_B, а так же наибольший угол α, составляемый между стеной и лестницей в положении равновесия (рис. 7.4).

Рис. 7.4

Решение. Исследование равновесия тел с учетом сил трения сводится к рассмотрению предельных положений равновесия.

Так, при исследовании равновесия лестницы АВ, опирающейся на негладкие пол и стену, следует считать угол наклона α предельным, при его увеличении равновесие лестницы нарушится.

Покажем на схеме действующие на лестницу силы и составим уравнения равновесия сил (рис. 7.4):

; ;	(1)
; ;	(2)
; ,	(3)

где , .

Из уравнения (1): .

Из уравнения (2): ; ,

; .

Из уравнения (3): ;

; ;

; ;

; ; .

Ответ: для того, чтобы лестница была в равновесии необходимо, чтобы угол наклона к стене не превышал угол ; ; .

7.4. Равновесие твердого тела при наличии трения качения

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то есть вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Между катк­ом и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу (рис. 7.5), стремящуюся его двигать по плоскости.

Рис. 7.5

Рассмотрим случай, когда сила параллельна горизонтальной плоскости. Из опыта известно, что при изменении модуля силы от нуля до неко­торого предельного значения каток остается в покое, т.е. силы, дейст­вующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил (веса и си­лы ), к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости должна проходить через центр катка О, так как две другие силы приложены к этой точке.

Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена на некоторое расстояние от вертикали, проходящей через центр коле­са, иначе реакция не будет иметь горизонтальной составляющей, необхо­димой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плос­кости на две составляющие: нормальную составляющую и касатель­ную реакцию , являющуюся силой трения (рис. 7.6).

Рис. 7.6

В предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил ( , ) с момен­том (где r – радиус катка) и вторая пара сил ( , ), удерживаю­щая каток в равновесии.

Момент пары, называемой моментом трения качения, определяется формулой:

,

из которой следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения:

,

где f – коэффициент трения скольжения.

Таким образом, чистое качение (без скольжения) будет, если .

Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, вследствие чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения.

Если сила не направлена по горизонтали, то ее следует разложить на две составляющие, направленные по горизонтали и вертикали. Верти­кальную составляющую следует сложить с силой , и мы снова приходим к схеме действия сил, изображенных на рис. 7.6.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению и равной ему нормальной реакции : .

Коэффициент пропорциональности  называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода. Коэффициент  имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения  зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Для того, чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

.

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

.