Практична робота №3 Задача Коші для рівнянь гіперболічного типу. Метод характеристик

Приклад П3.1. Розв’язати задачу Коші

,

, ,

Розв’язання. Як відомо, розв’язок задачі Коші

,

, .

можна знайти за формулою

.(П3.1)

Використовуючи (П3.1) в нашому випадку, отримаємо

.

Відповідь:

Приклад П3.2. Знайти загальний розв’язок рівняння, попередньо звівши його до канонічного вигляду

. (П3.2)

Розв’язання. Визначимо тип рівняння (П3.2). рівняння (П3.2) є рівнянням гіперболічного типу. Характеристичне рівняння має вигляд

,

,

,

або ,

, .

Проводимо наступну заміну змінних:

, .

Тоді

, .

.

.

.

Підставляючи знайдені похідні в рівняння (П3.2), отримуємо

,

. (П3.3)

В рівнянні (П3.3) проведемо наступну заміну:

,

де ‑ нова невідома функція ; ,  ‑ поки що довільні константи.

Тоді

, , ,

, .

З (П3.3) отримуємо

,

. (П3.4)

Поклавши , , рівняння (П3.4) набуває вигляду:

. (П3.5)

Інтегруємо рівняння (П3.5)

,

де ‑ довільна функція. Далі

,

де ‑ довільна функція. Отже,

.

Повертаючись до вище проведених замін змінних, дістанемо

,

,

де ‑ довільні, двічі неперервно диференційовні функції.

Відповідь: .

Завдання для самостійної роботи

I рівень

Розв’язати задачу Коші.

1. ,

.

2. ,

.

3. ,

.

4. ,

.

5. ,

.

II рівень

Знайти загальний розв’язок рівняння, попередньо звівши його до канонічного вигляду.

1. .

2. .

3. .

4. .

Розв’язати задачу Коші.

5. ,

.

6. ,

.

III рівень

Знайти загальний розв’язок рівняння.

1. .

2. .

3. .

Розв’язати задачу Коші.

4. ,

.

Тема 4. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для гіперболічних рівнянь

§ 4.1. Перша мішана крайова задача для однорідного хвильового рівняння (вільні коливання струни)

Розглянемо мішану крайову задачу

, , , (4.1)

, , (4.2)

, , (4.3)

де , .

Будемо вимагати виконання так званих умов узгодженості

, ,

які є однією з необхідних умов існування класичного розв’язку крайової задачі (4.1)-(4.3).

Щоб розв’язати крайову задачу (4.1)-(4.3), спочатку розглянемо основну допоміжну задачу: знайти розв’язок рівняння (4.1), який задовольняє граничним умовам (4.3) і який тотожно не дорівнює нулю (не є тривіальним). Згідно методу розділення змінних (методу Фур’є) розв’язок основної допоміжної задачі шукаємо у вигляді

, (4.4)

де ‑ поки що невідомі функції, які залежать лише від змінної та змінної відповідно.

Підставивши (4.4) в (4.1), дістанемо

або

. (4.5)

Фіксуючи і змінюючи довільним чином , отримаємо, що ліва та права частини рівності (4.5) зберігають постійне значення при довільних та . Отже,

, (4.6)

де . Знак “–” в (4.6) взято для зручності. Далі з рівності (4.6) одержуємо

, , (4.7)

, . (4.8)

З (4.4) та граничних умов (4.3) слідує

, .

Врахувавши, що з вищенаведеної рівності маємо

, . (4.9)

Отже, щоб знайти та потрібно розв’язати рівняння (4.7) та граничну задачу (4.8), (4.9).

Числа , при яких задача (4.8), (4.9) має нетривіальні розв’язки називаються власними значеннями, а відповідні розв’язки задачі (4.8), (4.9) − власними функціями.

Задача (4.8), (4.9) є частковим випадком так званої загальної спектральної задачі, або задачі Штурма–Ліувілля (див. §5.1).

Щоб знайти власні числа задачі (4.8), (4.9), розглянемо наступні випадки:

1. . Характеристичне рівняння для лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами (див., наприклад, [25, 40]) в даному випадку має два дійсні корені . Тоді розв’язок звичайного диференціального рівняння (ЗДР) (4.9) має вигляд

,

а з умов (4.9) маємо

Визначник вказаної системи лінійних алгебричних рівнянь (СЛАР)

,

тому однорідна система має лише тривіальний розв’язок . Тобто, . Отже, не є власним значенням задачі (4.8), (4.9).

2. Тоді розв’язок ЗДР (4.8) має вигляд

.

З (4.9) маємо

Отже, не є власним значенням задачі (4.8), (4.9).

3. Характеристичне рівняння для лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами (4.8)

в даному випадку має два комплексно спряжених корені

.

Тоді розв’язок ЗДР (4.8) має вигляд

.

З (4.9) маємо

Тобто, . Оскільки ми вимагаємо, щоб , то остання рівність можлива лише у випадку

,

,

. (4.10)

Для знайдених власних значень відповідають власні функції

, . (4.11)

Підставляючи знайдені в рівняння (4.7), отримаємо розв’язок даного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами

, (4.12)

де , – довільні сталі. Отже, частковим розв’язком нашої основної допоміжної задачі буде

(4.13)

де , . В силу лінійності та однорідності рівняння (4.1) сума його часткових розв’язків буде загальним розв’язком даного рівняння, тобто

.(4.14)

Ряд (4.14) буде розв’язком рівняння (4.1) при умові, що він рівномірно збігається і його можна почленно диференціювати два рази по та по .

Для відшукання та використовуємо початкові умови (4.2). Одержимо

, .

Припустимо, що функції та є кусково-неперервними. Тоді їх можна розкласти на відрізку в ряди Фур’є за синусами (див., наприклад, [7, 33])

, де ;

, де .

Далі одержимо

,

тобто,

, . (4.15)

Отже, загальним розв’язком задачі (4.1)-(4.3) є ряд (4.14) з коефіцієнтами (4.15).

Можна довести (див.[34], ст.117), що якщо функція має кусково–неперервну третю похідну і задовольняє умовам , , а функція має кусково–неперервну другу похідну і задовольняє умовам узгодженості , тоді функція , визначена рядом (4.14) з коефіцієнтами (4.15) є розв’язком задачі (4.1)–(4.3) і має неперервні похідні по та до другого порядку включно. При цьому ряд (4.14) можна почленно диференціювати два рази по та і отримані ряди збігаються рівномірно та абсолютно при , .