§ 10.2. Єдиність розв’язку задачі Коші

У фазовому просторі розглянемо задачу Коші для рівняння параболічного типу

, , (10.18)

, , (10.19)

де , – відомі неперервні та обмежені функції в просторах Е₃ та відповідно.

Теорема 10.3. В класі обмежених у всьому фазовому просторі функцій розв’язок задачі Коші (10.18), (10.19) єдиний.

Доведення. Припустимо, що існує два розв’язки задачі (10.18), (10.19) та . Повторюючи міркування теореми 10.1, отримаємо, що функція буде розв’язком наступної задачі Коші:

, , (10.20)

, . (10.21)

Згідно умов теореми існує константа така, що

, , .

Тоді

.

Розглянемо допоміжну функцію

,

де ; . Безпосередньою перевіркою легко переконатись, що функція задовольняє рівняння (10.20), причому

, .

При маємо , тобто . Отже,

.

Тоді, на основі принципу максимуму, нерівність

(10.22)

буде виконуватись при і . Зафіксуємо деяку точку та і перейдемо до границі в (10.22) при . Отримаємо

.

В силу довільності точки остання рівність виконується тотожно при всіх . Тобто, .

Теорема 10.3 доведена.

§10.3. Неперервна залежність розв’язку задачі Коші від початкових умов та інтенсивності внутрішніх джерел тепла

Нехай функція є розв’язком задачі Коші

, , (10.23)

, ,

а функція ‑ це розв’язок наступної задачі Коші:

, , (10.24)

, .

Тут функції , , є відомими та обмеженими.

Теорема 10.4. Розв’язок задачі Коші для рівняння параболічного типу неперервно залежить від початкових умов та інтенсивності внутрішніх джерел тепла. Тобто, , , , що як тільки < , і < , , то

< .

Доведення. Можна показати, що

,

де фундаментальний розв’язок однорідного рівняння теплопровідності (див. тема 9). Тоді отримуємо

+

.

Отже, поклавши в останній нерівності = , отримуємо

.

Теорема 10.4 доведена.

Розділ 4 Рівняння еліптичного типу

Тема 11. Еліптичні рівняння та фізичні процеси, які до них приводять

§ 11.1. Фізичні процеси, що приводять до рівнянь еліптичного типу

При вивченні параболічних рівнянь ми показали, що процес розподілу тепла в деякому тілі описується рівнянням теплопровідності

.

Якщо припустити, що процес розподілу тепла є стаціонарним, тобто , а інтенсивність внутрішніх джерел тепла теж не залежить від часу, то ми отримуємо рівняння еліптичного типу

,

де .

Розглянемо потік нестисливої рідини з густиною . Позначимо через вектор-функцію швидкості руху даної рідини. Припустимо, що поле є потенціальним, тобто , де – потенціальна функція потоку рідини. Тоді можна показати (див., наприклад, [34, 36, 49]), що функція буде задовольняти рівняння еліптичного типу

,

де ‑ інтенсивність внутрішніх джерел рідини.

§11.2. Постановка крайових задач для еліптичних рівнянь

Рівняння виду , (11.1) де – деяка задана функція (в загальному випадку залежить від змінних) називається рівнянням Пуассона.

Рівняння виду (11.2) називається рівнянням Лапласа.

Розглянемо деяку область -вимірного простору, обмежену поверхнею . Поставимо задачу: знайти розв’язок рівняння (11.1), який задовольняє одну з граничних умов

; (11.3)

; (11.4)

; (11.5)

де - відомі функції змінних; тут - похідна по зовнішній нормалі до межі .

Задача (11.1), (11.3) називається першою крайовою задачею для рівняння еліптичного типу або задачею Діріхле. Задача (11.1), (11.4) називається другою крайовою задачею для рівняння еліптичного типу або задачею Неймана. Задача (11.1), (11.5) називається третьою крайовою задачею для рівняння еліптичного типу.