Завдання для самостійної роботи

I рівень

Розв’язати крайові задачі.

1. , , ,

,

.

2. , , ,

,

.

3. , , ,

,

.

4. , , ,

,

.

5. , , ,

.

II рівень

Розв’язати крайові задачі.

1. , , ,

,

.

2. , , ,

,

.

3. , , ,

, .

Тема 9. Задача Коші для рівнянь параболічного типу

§9.1. Постановка задачі Коші для параболічних рівнянь

В тривимірному просторі розглянемо деяке досить велике тіло , яке обмежене поверхнею . Всередині даного тіла розглянемо об’єм який знаходиться на значній відстані від поверхні . Протягом деякого проміжку часу температура об’єму не буде залежати від теплового режиму на поверхні і враховувати розміри тіла немає потреби. В даному випадку вважаємо, що тіло співпадає з усім простором . Таким чином, приходимо до задачі Коші: у фазовому просторі знайти розв’язок рівняння теплопровідності

, (9.1)

який задовольняє початкові умови

. (9.2)

Тут ‑ задана неперервна і обмежена функція в просторі Е₃.

§9.2. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для задачі Коші в одновимірному випадку

Знайдемо обмежений розв’язок у фазовій площині наступної задачі Коші:

, (9.3)

(9.4)

де ‑ задана обмежена і неперервна функція.

Обмежений нетривіальний розв’язок задачі (9.3)-(9.4) шукаємо у вигляді

(9.5)

Підставивши (9.5) у (9.3) та розділивши змінні, отримаємо два рівняння

(9.6)

(9.7)

де ‑ деяке число.

Розв’язком лінійного диференціального рівняння першого порядку (9.6) є функція [25, 40, 46]

, (9.8)

де . Як видно з (9.8), обмежений розв’язок можливий лише у випадку коли . Розв’язком лінійного диференціального рівняння другого порядку (9.7) при (див. тема 4) є функція

,

де - деякі константи, значення яких, взагалі кажучи, залежить від . Покладемо Це ми маємо право робити, оскільки . Тоді, згідно (9.5)

,

де , ‑ деякі константи, що залежать від . В силу лінійності та однорідності рівняння (9.3) його розв’язок можна подати у вигляді

(9.9)

Константи знайдемо з початкової умови (9.4)

(9.10)

Подаючи функцію у вигляді інтеграла Фур’є

і порівнюючи його з (9.10), отримаємо

, .

Зауважимо, що теорія інтегралів Фур’є є узагальненням теорії рядів Фур’є і вищенаведена формула для відіграє в ній фундаментальну роль (див., наприклад [7, глава 4; 16, глава 6; 33, глава 16]).

Підставляючи знайдені коефіцієнти в (9.9), одержуємо

(9.11)

Тут використовується парність підінтегральної функції по . Використовуючи формулу , та змінюючи порядок інтегрування в (9.11), дістанемо

(9.12)

Формула (9.12) називається формулою Пуассона.

Безпосередньо перевіркою легко встановити, що функція , як функція змінних задовольняє рівняння теплопровідності (9.3). Дана функція називається фундаментальним розв’язком рівняння теплопровідності.

На завершення даного параграфа покажемо, що справедлива формула якою ми скористались вище. Позначимо

. (9.13)

Диференціюючи (9.13) по , маємо

.

Отже, маємо диференціальне рівняння

.

Розв’язуємо його

, де .

Оскільки , то і .