§17.2. Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду

Описаний у попередньому параграфі метод може служити наближеним методом розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Як наближений розв'язок треба брати функції , визначені формулами (17.2)–(17.4).

Другий метод знаходження наближеного розв'язку інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду (17.1) полягає в тому, що ядро апроксимують з належною точністю виродженим ядром . Розв'язок рівняння з ядром і буде наближеним розв'язком вихідного рівняння (17.1).

Третій метод називається методом сіток. Відрізки зміни змінних та розбивають на однакових частин точками поділу , , , . Замінюючи інтеграл в рівнянні (17.1) інтегральною сумою, отримаємо співвідношення

.

Послідовно покладаючи змінну рівною ( ), отримаємо СЛАР

, , (17.8)

де . Розв'язуючи дану СЛАР відносно невідомих , одержимо значення наближеного розв'язку у вузлових точках , .

§17.3. Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду

Наближені методи розв'язання інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду вимагають особливого розгляду. Розглянемо наступне інтегральне рівняння:

, , (17.9)

де - шукана функція із підпростору , - задана функція із простору . Будемо вважати, що ядро по змінній є неперервною функцією з неперервною частинною похідною . Оператор для скорочення позначимо через . В результаті отримаємо аналог рівняння (17.9) у вигляді

, . (17.10)

Розв’язок шукаємо в класі неперервних на відрізку функцій. Відхилення правої частини будемо оцінювати в квадратичній метриці (метрика )

,

а відхилення розв’язку – в рівномірній метриці (метрика )

.

Нехай для деякої правої частини функція є розв’язком рівняння (17.9). Якщо замість функції нам відомо деякі її наближення, які мало відрізняються (в метриці ) від , то мова може йти тільки про знаходження наближеного до розв’язку рівняння (17.9). При цьому права частина може не володіти достатньою гладкістю. Вона може бути отримана в експерименті, наприклад, за допомогою самописця і мати кутові точки. При такій правій частині рівняння (17.9) не має розв’язку, оскільки ядро є гладкою функцією. Отже, в якості наближеного до розв’язку (17.9) не можна брати точний розв’язок рівняння (17.9) з наближено відомою правою частиною. В цих умовах не виконується вимога існування розв’язку задачі для її (задачі) коректності. Виникає принципове питання: що потрібно розуміти під наближеним розв’язком рівнянням (17.9) з наближено відомою правою частиною?

Крім того, задача (17.9) не володіє властивістю стійкості. Дійсно, функція , є розв’язком рівняння (17.9) з правою частиною

.

Яке б не було число , при досить великих відхилення

можна зробити як завгодно малим внаслідок прямування до нуля коефіцієнтів Фурє функції з ростом їх номера . В той же час для відповідних розв’язків і

.

Отже, задача (17.9) є некоректною. До таких рівнянь приводять задачі фізики і техніки, наприклад, задачі спектроскопії (визначення розподілу щільності енергії випромінювання по спектру за результатами вимірювань), обернені задачі астрономії і ін.

Таким чином, потрібно не тільки дати відповідь на питання, що розуміти під наближеним розв’язком рівняння (17.9), але і вказати такий алгоритм його побудови, який володіє властивістю стійкості до малих змін правої частини .