Завдання для самостійної роботи

I рівень

1. Знайти функцію, гармонічну всередині одиничного круга з центром в початку координат і таку, що .

2. Знайти функцію, гармонічну всередині одиничного круга з центром в початку координат і таку, що .

3. Знайти розв’язок рівняння Лапласа в прямокутнику , , який задовольняє граничним умовам

, , , .

3. Знайти розв’язок рівняння Лапласа в прямокутнику , , який задовольняє граничним умовам

, , , .

II рівень

Знайти розв’язок рівняння Лапласа в прямокутнику , , який задовольняє граничним умовам

1. , , .

2. , , .

3. , , , .

4. , , .

5. , , .

В крузі знайти гармонічні функції, які задовольняють граничним умовам

6. .

7. .

Тема 14. Метод функції Гріна

§14.1. Основна інтегральна формула Гріна та основна формула теорії гармонічних функцій

Розглянемо в тривимірному просторі деяку область , обмежену достатньо гладкою поверхнею .

Теорема 14.1. Якщо функція , тоді для неї справедлива основна інтегральна формула Гріна

(14.1)

дe , ,

Доведення. Як відомо (див. тема 11), функція є гармонічною в області при . Розглянемо наступні випадки.

1. Нехай . Тоді, використовуючи другу формулу Гріна для функцій та отримуємо

Отже

Тобто, .

2. Нехай . Оскільки функція при перетворюється у нескінченність, то безпосередньо застосувати другу формулу Гріна не можна.

Виріжемо з області кулю малого радіуса , яка обмежена сферою (див. рис.14.1) з центром в точці .

Рис. 14.1. Область тривимірного простору

Нехай . Застосовуючи другу формулу Гріна в області , отримуємо

(14.2)

Якщо , то . На поверхні зовнішня нормаль і радіус кулі мають протилежні напрямки. Тому

.

Тоді, використовуючи теорему про середнє значення для визначених інтегралів, одержимо

де , - середні значення функцій , на сфері . Спрямуємо радіус сфери до нуля. Дістанемо

а) оскільки і її перші похідні є неперервними, а отже – обмеженими у внутрішніх точках області .

б) , оскільки функція є неперервною.

в) згідно означення невласного інтеграла

Враховуючи вищесказане, з (14.2) маємо

Тобто, .

3. Нехай . Припустимо, що в цій точці поверхня має дотичну площину з неперервним кутовим коефіцієнтом. Проведемо сферу малого радіуса з центром в точці (див. рис.14.2). Нехай - це частина , яка знаходиться в кулі . Нехай , - це частина , яка знаходиться в області . Тоді, згідно з другою формулою Гріна, отримаємо

Рис. 14.2. Точка знаходиться на поверхні

(14.3)

Повторюючи аналогічні міркування, як і в пункті 2 і враховуючи, що , з (14.3) при отримуємо (14.1), де .

Теорема 14.1 доведена.

Припустимо що функція є гармонічною в області . Тоді з (14.1) отримаємо основну формулу теорії гармонічних функцій

. (14.4)

Зауважимо, що якщо точка є конічною вершиною поверхні , то в (14.1) (радіан), де - величина кута, утвореного дотичними до в точці .

В двовимірному випадку для області обмеженої контуром формула (14.1) набуває вигляду

,

де