§14.2. Функція Гріна для оператора Лапласа

Нехай – гармонічні функції. Тоді, використавши другу формулу Гріна, дістанемо

(14.5)

Додаючи (14.5) та (14.4) при , одержимо

(14.6)

де , а функція визначається як

. (14.7)

Формула (14.6) дає представлення функції через її значення на межі і містить та . Але в задачі Діріхле відомо лише , а в задачі Неймана лише . Тому функція вибирається таким чином, що для задачі Діріхле і для задачі Неймана.

Функція називається функцією Гріна задачі Діріхле для рівняння Лапласа, якщо вона задовольняє наступні умови: 1. є гармонічною функцією в області точки при і перетворюється в нескінченність при ; 2. Функція допускає представлення (14.7), де функція як функція точки є гармонічною в області ; 3. Функція задовольняє граничну умову (14.8)

Побудова функції Гріна зводиться до знаходження її регулярної частини , яка визначається із наступної задачі Діріхле:

. (14.9)

Отже, згідно (14.6) розв’язок задачі Діріхле

(14.10)

подається у вигляді

(14.11)

Якщо нам дано задачу Діріхле для рівняння Пуассона

(14.12)

то поклавши в (14.1) замість функції функцію Гріна , врахувавши (14.8) та (14.12), дістанемо

§14.3. Приклади функцій Гріна для деяких областей

Без детального виведення наведемо вигляд функцій Гріна для деяких канонічних областей (детально див., наприклад, [49]).

1. Для кулі з центром в початку координат і радіусом функція має наступний вигляд:

де

, , , , точка лежить на прямій так, що (див. рис. 14.3).

Рис. 14.3. Куля з центром в початку координат

В даному випадку

.

2. Для круга (див. рис. 14.4) функція Гріна має вигляд

,

де точка така, що . Причому

.

Рис. 14.4. Круг з центром в початку координат

З наведених прикладів видно, що функцію Гріна легко побудувати лише для канонічних областей.

Тема 15. Елементи теорії потенціалу

§15.1. Потенціал об’єму, подвійного та простого шарів

Нехай в тривимірному просторі в деякій точці розміщено точковий електричний заряд. Згідно закону Кулона даний точковий заряд створює електростатичне поле, напруженість якого визначається рівністю

,

або в проекціях на осі координат

, , , (15.1)

де - коефіцієнт пропорційності, який залежить від вибраної системи одиниць; де .

Надалі вважатимемо, що . Як видно з (15.1)

,

де , . Функція називається потенціалом електростатичного поля. Щоб забезпечити виконання умови регулярності на нескінченності, тобто при , покладають . Отже, точковий заряд створює потенціал

. (15.2)

Оскільки при наявності декількох точкових зарядів їх потенціали додаються, то потенціал створений неперервно розподіленим зарядом визначається у вигляді інтеграла. Нехай заряд розподілений по об’єму з об’ємною густиною . Тоді величина потенціалу, який створений даним зарядом, буде дорівнювати

, (15.3)

де

.

Права частина (15.3) називається об’ємним потенціалом.

Нехай заряд розподілений по поверхні з поверхневою густиною . Тоді

. (15.4)

Права частина (15.4) називається потенціалом простого шару.

Нехай задана деяка орієнтована поверхня на якій визначаються внутрішня та зовнішня сторони. Нехай на поверхні розподілений диполь . Тоді величина потенціалу, який створений диполем буде визначатися рівністю

, (15.5)

де - кут між зовнішньою нормаллю та вектором ; ‑ деяка фіксована точка простору, ‑ змінна точка на поверхні . Інтеграл в (15.5) називається потенціалом подвійного шару.