§ 6.2. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для першої мішаної крайової задачі для однорідного хвильового рівняння в крузі

Як приклад застосування криволінійних координат розглянемо задачу вільних коливань закріпленої по краях круглої мембрани радіуса . Перейдемо до полярних координат. Зауважимо, що формули переходу від декартових координат до полярних аналогічні, як і в циліндричній системі координат при відсутності вертикальної координати . Тоді крайова задача запишеться наступним чином:

, (6.5)

, (6.6)

. (6.7)

Для знаходження розв’язку крайової задачі (6.5)-(6.7) використаємо метод розділення змінних (метод Фур’є). Поклавши

, (6.8)

з (6.5), (6.7) отримуємо рівняння для функції T(t)

(6.9)

і задачу на власні значення для функції

, (6.10)

, (6.11)

(умова обмеженості). (6.12)

Оскільки є циклічною координатою, то для однозначності функції потрібно вимагати виконання умови періодичності

. (6.13)

Для відшукання функції знову ж використаємо метод розділення змінних

.

Тоді, з (6.10) отримаємо

(6.14)

З (6.11)-(6.14) приходимо до наступних задач Штурма-Ліувілля для відшукання та :

, (6.15)

(6.16)

, (6.17)

. (6.18)

Нетривіальні періодичні розв’язки задачі (6.15), (6.16) існують лише при де Власному значенню відповідають дві лінійно незалежні функції та (з точністю до постійних множників).

При задача Штурма-Ліувілля (6.17), (6.18) еквівалентна задачі Штурма-Ліувілля (5.5), (5.6). Тому, згідно §5.2, власні числа задачі (6.17), (6.18) мають вигляд

, (6.19)

а власні функції

. (6.20)

Отже, для власного значення (6.19) ми отримали дві власні функції

.

Враховуючи те, що розв’язок рівняння (6.9) має вигляд

,

розв’язок задачі (6.5)-(6.7) можемо записати у вигляді

де

,

,

.

Аналогічні формули справедливі для та .

Розділ 3 Рівняння параболічного типу

Тема 7. Рівняння параболічного типу та фізичні задачі, що до них приводять

§ 7.1. Фізичні процеси, які приводять до рівнянь параболічного типу

До рівнянь параболічного типу найчастіше приводять фізичні задачі, пов’язані з розповсюдженням тепла та дифузією розчинених речовин.

Розглянемо металевий стержень, бічна поверхня якого теплоізольована (рис. 7.1). Теплоізольованість бічної поверхні стержня означає, що через його поверхню не відбувається теплообміну з навколишнім середовищем. Якщо цей стержень у початковому стані нерівномірно нагрітий, то завдяки теплопровідності в ньому буде відбуватися передача тепла від більш нагрітих частин до менш нагрітих.

Рис. 7.1. Металевий стержень

У задачі лінійної теплопровідності стержень передбачається настільки тонким, що в будь-який момент часу температура всіх точок деякого поперечного перерізу стержня (рис. 7.1) буде однаковою. Якщо прийняти вісь стержня за вісь абсцис, то температура буде функцією координати та часу t. При постійному функція являє собою залежність температури точок стержня в даний момент часу від їхньої відстані до початку координат; частинна похідна (- ) виражає при цьому швидкість зміни температури в напрямку осі Ох. Якщо зафіксувати абсцису , то виражає закон зміни температури в даному перетині стержня з часом.

Вивід диференціального рівняння теплопровідності ґрунтується на наступних фізичних передумовах:

1. Кількість тепла, яке необхідно передати однорідному тілу, щоб підвищити його температуру на , дорівнює

(7.1)

де - об’єм тіла, - його густина, - питома теплоємність.

2. Кількість тепла, що протікає через поперечний переріз стержня за час t (тепловий потік), пропорційна площі поперечного перерізу, швидкості зміни температури в напрямку, перпендикулярному до перерізу, і величині проміжку часу , тобто дорівнює

(7.2)

де ‑ площа поперечного перерізу, ‑ коефіцієнт теплопровідності. Знак мінус у формулі (7.2) пояснюється тим, що величину теплового потоку ми будемо вважати додатною, якщо тепло йде у бік зростання х. Якщо то це означає, що зі зростанням х температура підвищується, а оскільки тепло переходить від більш нагрітих ділянок до менш нагрітих, то тепловий потік буде спрямований у бік зменшення х, тобто його величина буде від’ємною. Будемо вважати коефіцієнт теплопровідності постійним. Це припущення справджується, якщо стержень однорідний і температура змінюється в невеликих межах.

Виділимо ділянку стержня, обмежену поперечними перерізами з абсцисами та і складемо для неї (ділянки) рівняння теплового балансу. За формулою (7.2) кількість тепла, що входить через поперечний переріз з абсцисою за проміжок часу дорівнює Якщо відкинути нескінченно малі величини вищих порядків у розкладі в ряд Тейлора функції , то значення частинної похідної по в точці буде дорівнювати . Тому величина теплового потоку, що виходить через переріз з абсцисою дорівнює Взявши різницю величин вхідного і вихідного теплового потоків, ми одержимо кількість тепла яку отримала ділянка стержня за час

З іншої сторони, за цей же проміжок часу температура змінилася на величину ( з точністю до нескінченно малих вищого порядку). Тому, за формулою (7.1), отримана кількість тепла дорівнює

(об’єм дорівнює ).

Прирівнюючи отримані вирази для і скорочуючи на загальний множник маємо

. (7.3)

Позначивши , з (7.3) дістанемо основне рівняння розповсюдження тепла в однорідному стержні без теплових джерел

(7.4)

Постійну називають коефіцієнтом температуропровідності. Рівняння параболічного типу (7.4) є однорідним і лінійним.

Додатково припустимо, що в деяких ділянках стержня може виникати або поглинатися тепло. Тобто, всередині стержня наявні теплові джерела. Виділення (або поглинання) тепла зручно характеризувати за допомогою інтенсивності теплових джерел. Під інтенсивністю теплових джерел розуміють таку функцію , що на малій ділянці стержня ( ) за малий проміжок часу ( ) виділяється кількість тепла, рівна (з точністю до нескінченно малих вищого порядку)

(7.5)

(Якщо , то тепло не виділяється, а поглинається.) Наприклад, при проходженні через стержень постійного електричного струму в ньому (стержні) буде виділятися тепло, причому в даному випадку , де - величина сили (струм), a - опір одиниці довжини стержня.

При складанні рівняння теплового балансу (7.3) треба врахувати тепло, що виникає в розглянутій ділянці стержня за рахунок джерел тепла. Для цього додамо до правої частини рівняння (7.3) величину, обумовлену формулою (7.5) і розділену на . Отримаємо

).

Розділивши обидві частини отриманої рівності на і ввівши позначення прийдемо до рівняння параболічного типу

(7.6)

Рівняння (7.6), на відміну від рівняння (7.4), є неоднорідним.

Зрозуміло, що отримані рівняння теплопровідності виведені за умови деякої ідеалізації процесу.

Розглянемо тверде однорідне ізотропне тіло, температура якого в точці в момент часу описується функцією . Якщо температура тіла не є сталою, то в ньому виникають теплові потоки від більш нагрітих частин до менш нагрітих. Тоді функція задовольняє рівняння теплопровідності

де ‑ інтенсивність внутрішніх джерел тепла.

Якщо розглянемо теплові процеси в деякій однорідній тонкій пластинці з теплоізольованою бічною поверхнею, тоді температура буде задовольняти рівняння теплопровідності в двовимірному випадку

.