§ 17.4. Деякі методи розв’язання некоректних задач

Методи відшукання наближених розв’язків некоректно поставлених задач виду (17.10) почали цікавити математиків досить давно. Одним із таких способів побудови розв’язку є метод підбору. Він полягає в тому, що обраховується ліва частина рівняння (17.10) для деякої підмножини (набору) елементів , які належать . В якості шуканого наближеного розв’язку вибирається такий елемент із , для якого нев’язка мінімальна. Якщо додатково відомо, що шуканий розв’язок і , то і досягається дана нижня межа на точному розв’язку рівняння . При цьому виникає питання: якщо є послідовністю елементів, на якій нев’язка , при , прямує до нуля, то чи буде послідовність прямувати до точного розв’язку ? Якщо додатково відомо, що кожний параметр є обмеженим, то буде компактною і буде збігатися до , тобто, метод підбору дозволяє отримати в цьому випадку наближений розв’язок. В інших умовах метод підбору, взагалі кажучи, не годиться для побудови наближених розв’язків.

В 1963 р. А. М. Тихонов [48] розробив новий підхід до розв’язання некоректно поставлених задач, який дозволяє будувати наближені розв’язки рівняння (17.10), стійкі до малих змін початкових даних. В основі даного підходу лежить фундаментальне поняття регуляризуючого оператора. Для простоти викладення вважаємо, що в рівнянні (17.10) наближеною може бути лише права частина , а оператор відомий точно. Нехай елементи , пов’язані співвідношенням . Якщо задача (17.10) є некоректно поставленою (не володіє властивістю стійкості) і замість точного значення правої частини , ми маємо елемент , для якого , то очевидно, що наближений розв’язок не може бути визначений як точний розв’язок рівняння (17.10) з наближеною правою частиною . Елемент можна визначити за допомогою оператора, залежного від деякого параметра, значення якого (параметра) потрібно брати узгодженим з точністю задання . Дана узгодженість повинна бути такою, щоб при наближенні правої частини рівняння (17.10) до точного значення , тобто, при , наближений розв’язок прямував до шуканого точного розв’язку рівняння .

Оператор , залежний від параметра , називається регуляризуючим оператором для рівняння (17.10), якщо він володіє наступними властивостями: визначений для будь-якого і для будь-якого ; Якщо , то , що знайдеться таке , що як тільки , то , де і .

За Тихоновим, в якості наближеного розв’язку рівняння (17.10) потрібно брати елемент , отриманий за допомогою регуляризуючого оператора , де параметр є узгодженим з рівнем помилковості початкових даних. Цей розв’язок називається регуляризованим розв’язком рівняння (17.10). Числовий параметр називається параметром регуляризації.

Очевидно, що всякий ругуляризуючий оператор разом з вибором параметра регуляризації , який узгоджений з рівнем помилковості початкових даних , визначає стійкий метод побудови наближених розв’язків рівняння (17.10).

Якщо відомо, що , то, відповідно означенню регуляризуючого оператора, можна так вибрати значення параметра регуляризації , що при регуляризований розв’язок буде прямувати до шуканого точного розв’язку . Це і обгрунтовує пропозицію брати в якості наближених розв’язків рівняння (17.10) регуляризовані розв’язки.

Таким чином задача зводиться:

1. До знаходження регуляризуючих операторів;

2. До оцінки параметра регуляризації за додатковою інформацією про задачу, наприклад за величиною відхилення правої частини від її точного значення.

В математичній літературі описаний метод побудови наближених розв’язків некоректних задач називається методом регуляризації.

Відмітимо, що регуляризуючі оператори, залежні від параметра, використовувались ще з часів Ньютона. Так, класична задача наближеного обрахунку похідної за наближеним (в метриці ) значенням може бути розв’язана за допомогою оператора

.

Дійсно, нехай замість точних значень функції ми маємо наближені значення , де для будь-якого . Тоді

.

При перший дріб прямує до похідної . Оцінимо другий дріб

.

Якщо покласти , де при , то при і, відповідно, при .

Друга класична задача – задача відновлення функції за її наближено відомими коефіцієнтами Фурє (задача підсумовування рядів Фурє) – також розв’язується за допомогою регуляризуючих операторів.

Дійсно, нехай для будь-якого , який належить деякому скінченному проміжку, є рядом Фурє функції по повній ортонормованій системі функцій таких, що для будь-якого . Нехай замість послідовності коефіцієнтів Фурє нам відомі їх наближені значення такі, що і . В метриці функції і в фіксованій точці можуть відрізнятися на як завгодно велику величину. Тому не можна брати в якості наближеного значення функції в точці значення . Стійке (до малих змін ) наближене значення функції визначається за допомогою оператора , якщо брати рівним цілій частині функції , тобто , де , , .

Дійсно, оскільки для будь-якого виконується умова , то

.

Оскільки ряд збігається, то його залишок прямує до нуля при . Далі, використовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримаємо

при . Отже, при вищевказаному способі вибору .