§13.2. Задача Діріхле для рівняння Лапласа в крузі

Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа (записаного в полярних координатах)

(13.16)

в області , який задовольняє граничну умову

. (13.17)

Крім того мають виконуватись умови періодичності (випливають з умови єдиності розв’язку)

,

.

Нетривіальні розв’язки рівняння (13.16) шукаємо у вигляді

. (13.18)

Підставивши (13.18) у (13.16) та відокремивши змінні, одержимо

, (13.19)

, (13.20)

при умові

, (13.21)

де - деяка константа.

Задача на власні значення (13.19), (13.21) розв’язана при дослідженні коливань круглої мембрани (див. §6.2) і

, (13.22)

де - поки що довільні константи.

Підставивши знайдені значення в (13.20), маємо

. (13.23)

Звичайне диференціальне рівняння (13.23) є рівнянням Ейлера і заміною зводиться до вигляду

.

Розв’язуючи вищенаведене лінійне диференціальне рівняння, дістанемо

або

Для того, щоб функція в крузі була неперервною, потрібно покласти . Отже,

(13.24)

Тому розв’язок шукаємо у вигляді

(13.25)

де , . Константи та треба вибрати так, щоб ряд (13.25) задовольняв граничну умову (13.17). З (13.17) отримаємо

.

Тоді, розкладаючи функцію в ряд Фур’є на відрізку (з коефіцієнтами та ), отримаємо

§ 13.3. Інтеграл Пуассона

Підставивши знайдені коефіцієнти в ряд (13.25), змінивши порядок сумування та інтегрування, одержимо

(13.26)

Враховуючи, що в крузі , а отримаємо

Отже,

. (13.27)

Інтеграл (13.27) називається інтегралом Пуассона, а підінтегральний вираз називається ядром Пуассона.

Інтеграл Пуассона (13.27) існує за умови, що . Якщо , то представлення (13.27) втрачає зміст. Однак можна показати, що при інтеграл Пуассона задовольняє умову

.

Практична робота №7 Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу

Приклад П7.1. Знайти розв’язок рівняння Лапласа

(П7.1)

в прямокутнику , , який задовольняє наступним граничним умовам:

, (П7.2)

, . (П7.3)

Розв’язання. Розв’язок шукаємо у вигляді

. (П7.4)

Тоді, з рівняння (П7.1), маємо

,

,

або

, (П7.5)

де . З (П7.5) дістанемо

, (П7.6)

. (П7.7)

З граничних умов отримуємо

, (П7.8)

, (П7.9)

(П7.10)

Задача Штурма-Ліувілля (П7.7)-(П7.9) вже розв’язана (див. приклад П4.2), і

, , (П7.11)

де – довільна стала. Розв’язуючи задачу (П7.6), (П7.10) при знайдених , знаходимо

(П7.12)

Отже, розв’язок задачі (П7.1)-(П7.3) шукаємо у вигляді ряду

, (П7.13)

де . З другої граничної умови (П7.3), при , отримуємо

.

Розкладемо функцію на відрізку в ряд Фур’є лише за синусами. Дістанемо

,

де

.

Вищенаведена рівність буде виконуватись, якщо

.

Відповідь:

,

де

.

Приклад П7.2. Знайти функцію, гармонічну всередині одиничного круга з центром в початку координат і таку, що

. (П7.14)

Розв’язання. Як відомо, функція , гармонічна в середині круга , є розв’язком рівняння Лапласа (записаного в полярних координатах)

. (П7.15)

Якщо задовольняє граничну умову першого роду

, , (П7.16)

то розв’язком граничної задачі (П7.15), (П7.16) є ряд

, (П7.17)

де

, .

, .

Отже, розв’язком рівняння (П7.15) є функція (П7.17), причому коефіцієнти , знайдемо з умови (П7.14), враховуючи, що . Маємо

,

. (П7.18)

З (П7.18) отримаємо

, , , , , , .

Отже, розв’язком граничної задачі (П7.15), (П7.14) є функція

.

Відповідь:

.