§2.2. Граничні та початкові умови. Їх фізична інтерпретація

Оскільки диференціальне рівняння з частинними похідними має нескінченну кількість розв’язків (порівняйте зі звичайними диференціальними рівняннями [25, 40, 46]), то, для однозначної характеристики фізичного процесу, до ДРЧП потрібно приєднати деякі додаткові умови, які називаються крайовими.

Крайові умови поділяються на:

1. Початкові умови ‑ характеризують початковий стан процесу. Для рівняння (2.4) вони мають вигляд

, (2.5)

де , - задані функції. Умови (2.5) задаються в усій області розв’язку рівняння (2.4). Перша з умов (2.5) задає початкове відхилення, а друга – початкову швидкість.

2. Граничні умови – задаються на межі області розв’язку рівняння (2.4). Для рівнянь математичної фізики є наступні основні типи граничних умов:

(гранична умова першого роду); (2.6)

(гранична умова другого роду); (2.7)

(гранична умова третього роду). (2.8)

В умовах (2.6)-(2.8) ‑ задані функції; ‑ оператор похідної по зовнішній нормалі до межі області ; , , – складові вектора напрямних косинусів зовнішньої нормалі до межі області .

Розглянемо коливання скінченної струни в області . Якщо кінці струни рухаються за певними законами , , тоді на даних кінцях струни для функції задаються граничні умови першого роду

, . (2.9)

У випадку кінці струни є нерухомими.

Якщо задано закон зміни сили, прикладеної до кінців струни, яка діє в напрямку коливань, то для функції задаються граничні умови другого роду

, . (2.10)

Якщо , тоді кінці струни здійснюють вільні коливання.

Нехай до кінців струни прикріплені пружини, які рухаються за власними законами , . Тоді на кінцях струни для функції задаються граничні умови третього роду

, , (2.11)

де ; - модуль Юнга; - коефіцієнт жорсткості.

§2.3. Класифікація крайових задач

Сукупність диференціального рівняння з частинними похідними та крайових умов становить математичне формулювання фізичної задачі і називається крайовою задачею математичної фізики.

Як ми побачили в §2.1, процес коливання струни залежить від часу. ДРЧП, в яких шукана функція залежить від часу називаються нестаціонарними. Але досить багато рівнянь математичної фізики описують процеси, які не залежать від часу. Такі рівняння називаються стаціонарними.

Зрозуміло, що для стаціонарних ДРЧП крайові умови складаються лише з граничних умов, адже початкові умови для таких ДРЧП втрачають зміст. Основні крайові задачі математичної фізики для стаціонарних ДРЧП поділяються на:

1. ДРЧП + граничні умови першого роду = перша крайова задача;

2. ДРЧП + граничні умови другого роду = друга крайова задача;

3. ДРЧП + граничні умови третього роду = третя крайова задача.

До нестаціонарних ДРЧП, окрім граничних умов потрібно приєднувати ще й початкові умови. Крайові задачі, в яких є початкові та граничні умови називаються мішаними. Тобто, для нестаціонарних диференціальних рівнянь з частинними похідними маємо наступну класифікацію основних крайових задач:

1. ДРЧП + початкові умови + граничні умови першого роду = перша мішана крайова задача. Область визначення шуканої функції обмежена;

2. ДРЧП + початкові умови + граничні умови другого роду = друга мішана крайова задача. Область визначення шуканої функції обмежена;

3. ДРЧП + початкові умови + граничні умови третього роду = третя мішана крайова задача. Область визначення шуканої функції необмежена;

4. ДРЧП + початкові умови = задача Коші. Область визначення шуканої функції весь простір .

Звернемо увагу на задачу Коші. Оскільки невідома функція шукається у всьому просторі, то до ДРЧП приєднуються лише початкові умови.