§3.2. Формули Пуассона та Кірхгофа

Розглянемо задачу Коші для двовимірного неоднорідного хвильового рівняння

, (3.26)

, , (3.27)

, , .

Розв’язок задачі (3.26), (3.27) дається наступною формулою:

(3.28)

де – круг радіуса з центром в точці

.

При формула (3.28) називається формулою Пуассона.

Розв’язок задачі Коші для неоднорідного хвильового рівняння в тривимірному просторі

,

, ,

де , , , , можна знайти за формулою

(3.29)

де – сфера радіуса з центром в точці

– змінна точка на сфері; – куля радіуса з центром в точці

;

.

При формула (3.29) називається формулою Кірхгофа.

Виведення формул (3.28) та (3.29) є досить громіздким і ми не будемо на ньому зупинятись. З деталями виведень можна ознайомитись, наприклад, в [34].

§3.3. Коректність постановки задачі Коші

Теорема 3.2. Розв’язок задачі Коші (3.12), (3.13) існує та єдиний в класі функцій , .

Доведення. Функція, визначена формулою (3.21) задовольняє рівняння (3.12) та початкові умови (3.13). Отже, принаймні один розв’язок задачі Коші (3.12), (3.13) існує. Припустимо, що таких розв’язків є два: та . Тобто,

(3.30)

, , (3.31)

(3.32)

, . (3.33)

Віднімемо почленно рівняння (3.30) і (3.32), а також початкові умови (3.31) та (3.33). Одержимо, що функція є розв’язком крайової задачі

, (3.34)

, . (3.35)

Є очевидною тотожність

(3.36)

Для виведення (3.36) потрібно використати рівність . Інтегруючи (3.36) по трикутній області з вершинами в точках , , (див. рис.3.1) та використовуючи формулу Остроградського-Гаусса (див., наприклад, [7, ст.248]), отримаємо

(3.37)

Рис.3.1. Область інтегрування

Вздовж , в силу умов (3.35), маємо Оскільки рівняння та мають вигляд , то вздовж цих відрізків відповідно. Тому (3.37) набуде вигляду

або

,

звідки випливає, що на і на . Тобто, в точці трикутника мають місце рівності

Оскільки точка вибрана довільно, то рівності виконуються скрізь на площині змінних . Це означає, що . Але, згідно початкових умов (3.35) . Отже, в будь-якій точці , тобто, і єдиність доведена.

Теорема 3.2 доведена.

Доведемо стійкість розв’язку задачі (3.1), (3.2).

Теорема 3.3. Яким би не був проміжок часу і яка б не була точність , знайдеться таке , що для всіх розв’язки рівняння (3.1) та на протязі часу будуть відрізнятись між собою менше ніж на

, (3.38)

якщо тільки початкові умови , , , відрізняються менше ніж на

, .

Доведення. Функції , пов’язані з початковими умовами формулою Д’Аламбера. Тоді

Отже, дана нерівність доводить твердження нашої теореми, якщо покласти

.

Теорема 3.3 доведена.

Вищенаведені теореми доводять коректність задачі Коші для рівняння гіперболічного типу.

§3.4. Узагальнений розв’язок задачі Коші

Формула Д’Аламбера (3.11) дає розв’язок задачі Коші (3.1), (3.2) в припущенні, що , . Виникає питання: як бути з задачами, в яких функції та даними властивостями не володіють? Наприклад, якщо початкове відхилення струни задане у вигляді ламаної (див. рис.3.2).

Рис. 3.2. Початкове відхилення струни

В цьому нам допоможе теорема 3.3, зміст якої полягає в тому, що малим відхиленням в початкових даних відповідають малі відхилення в розв’язку.

Розглянемо задачу Коші (3.1), (3.2), де відмінні від нуля на скінченному числі проміжків, тобто , . Тоді дані функції можна апроксимувати рівномірно збіжними послідовностями функцій такими, що , і , . Для задачі Коші з початковими даними та відповідає розв’язок .Оцінимо різницю . В силу рівномірної збіжності послідовностей та , отримаємо, що виконуються нерівності

,

, .

Тоді, згідно теореми 3.3, виконується нерівність

.

Отже, послідовність є рівномірно збіжною до деякої функції . Дана функція називається узагальненим розв’язком задачі Коші (3.1), (3.2). При цьому

Тобто, не дивлячись на обмеженість диференційованості функцій та узагальнений розв’язок задачі Коші дається все тією ж формулою Д’Аламбера.