§2.6. Редукція загальної задачі
При розв’язуванні складної задачі природно прагнути звести її до розв’язування більш простих задач (редуціювати загальну задачу).
Так, розв’язок загальної крайової задачі для лінійного рівняння гіперболічного типу
,
,
,
,
,
,
можна подати у вигляді суми
,
де
‑
розв’язки наступних простіших крайових
задач [49]:
,
,
Простою перевіркою
легко переконатись, що функція
буде задовольняти рівняння та крайові
умови загальної задачі. Спрощення
полягає в тому, що в перших трьох задачах
рівняння є однорідними і деякі з крайових
умов теж однорідні, а в четвертій задачі
хоча рівняння є неоднорідним, але всі
крайові умови однорідні. Однак „платою”
за таке спрощення є збільшення кількості
задач, які потрібно розв’язати. Надалі
ми досить часто будемо використовувати
редукцію загальної задачі для знаходження
її розв’язку.
Тема 3. Задача Коші для хвильового рівняння
§3.1. Метод характеристик. Формула д’Аламбера
Розглянемо задачу Коші для одновимірного однорідного хвильового рівняння
, (3.1)
,
,
, (3.2)
де
,
.
Зауважимо, що
– це клас
неперервних функцій, які мають неперервні
похідні до
-го
порядку
включно.
Зведемо рівняння (3.1) до канонічного вигляду, який містить мішану похідну. Характеристичне рівняння
розпадається на два рівняння
загальними інтегралами яких є
, (3.3)
де
,
.
Ввівши нові змінні
,
,
отримаємо (див. формули
(1.3))
,
,
.
Підставивши знайдені похідні в рівняння (3.1) та звівши подібні доданки, дістанемо наступне рівняння:
.
(3.4)
Інтегруючи (3.4) по
,
маємо
,
(3.5)
де
–
довільна функція. Інтегруючи (3.5) по
,
отримаємо
або
,
(3.6)
де
та
– довільні функції. Повертаючись до
змінних
,
з (3.6) одержимо
.
(3.7)
Визначимо функції
та
з початкових умов (3.2). Отримуємо
,
(3.8)
.
(3.9)
Інтегруючи (3.9), маємо
,
(3.10)
де - довільна константа. Додавши рівності (3.8) та (3.10) і віднявши рівність (3.10) від (3.8), знаходимо
.
.
Підставимо знайдені
функції
та
в (3.7). В результаті отримаємо формулу
Д’Аламбера
,
(3.11)
адже
.
Розглянемо задачу Коші для неоднорідного хвильового рівняння
,
(3.12)
(3,13)
де
,
.
Згідно з принципом редукції загальної задачі (див. §2.6) розв’язок задачі Коші (3.12), (3.13) шукаємо у вигляді
,
(3.14)
де
‑
розв’язок задачі Коші (3.1), (3.2), а
знаходимо як розв’язок крайової задачі
,
(3.15)
.
(3.16)
Покажемо, що
,
(3.17)
де функція
є розв’язком задачі Коші
,
(3.18)
. (3.19)
Продиференціювавши (3.17), одержимо
Аналогічно
або, з урахуванням другої з умов (3.19),
а також
Обґрунтування отриманих похідних функції (3.17) наведемо пізніше (див. формулу (3.23)). Підставляючи вищеотримані вирази для похідних в (3.15), маємо
,
і
.
Тобто, функція (3.17) є розв’язком задачі
Коші (3.15), (3.16).
Формула Д’Аламбера (3.11) для задачі (3.18), (3.19) дає
. (3.20)
Підставивши (3.20) в (3.17), а (3.17) в (3.14) дістанемо загальний розв’язок задачі Коші (3.12), (3.13) у вигляді
.(3.21)
Вищенаведений принцип побудови розв’язку задачі Коші (3.12), (3.13) називається принципом Дюгамеля.
Зауваження 3.1. Розглянемо інтеграл
.
(3.22)
Теорема 3.1.
Нехай функція
визначена
і неперервна в прямокутнику
,
а криві
неперервні і не виходять за його межі.
Крім того функція
допускає в даному прямокутнику неперервну
похідну
,
а також існують похідні
.
Тоді
(3.23)
Доведення.
Очевидно, що якщо
,
де
,
,
то
.
(3.24)
Інтеграл (3.22) запишемо у вигляді
,
(3.25)
де
-
деяка фіксована точка. Перший інтеграл
в (3.25) при
має похідну, яка визначається формулою
(3.24)
.
Для другого інтеграла за теоремою про середнє отримаємо
,
де
міститься між
та
.
Тоді
Аналогічно, для
похідної третього інтеграла при
отримаємо
.
Об’єднуючи ці результати, переконуємось,
що похідна
дається формулою (3.23) (детальніше див.
[50, гл.14, §1, 507, 509]).