§12.2. Єдиність та неперервна залежність від граничних умов розв’язку задачі Діріхле
В обмеженій області з кусково-гладкою границею розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона
(12.3)
(12.4)
Теорема 12.2 Якщо розв’язок задачі (12.3), (12.4) існує, то він єдиний.
Доведення.
Припустимо,
що існує два розв’язки задачі (12.3),
(12.4):
та
.
Тобто, справедливі наступні рівності:
(12.5)
(12.6)
(12.7)
(12.8)
Віднімаючи
почленно (12.5) і (12.7) та граничні умови
(12.6) і (12.8), а також вводячи позначення
отримаємо
згідно
принципу максимуму для будь-якого
тобто
Теорема 12.2 доведена.
Теорема
12.3
(неперервна залежність від граничних
умов розв’язку задачі Діріхле). Нехай
функція
є розв’язком задачі (12.3), (12.4), а функція
є розв’язком рівняння Пуассона
і задовольняє граничні умови
Тоді,
якщо
,
то
для довільної точки
.
Доведення.
Функція
є розв’язком рівняння Лапласа
і на границі S задовольняє умову
,
.
Тоді, згідно наслідку 12.2
,
.
Теорема 12.3 доведена.
§12.3. Формули Гріна
Формули
Гріна є прямим наслідком формули
Остроградського-Гаусса, яка для
вектор-функції
має вигляд
(12.9)
де
скалярний
добуток векторів
та
;
- вектор напрямних косинусів зовнішньої
нормалі до межі
області
.
Нехай
функції
.
Тоді, покладаючи в (12.9)
,
тобто
,
,
,
отримаємо
або
(12.10)
Формула (12.10) називається першою формулою Гріна.
Змінюючи
в (12.10) функції
та
,
дістанемо
(12.11)
Віднявши від (12.10) формулу (12.11), маємо
(12.12)
Формула (12.12) називається другою формулою Гріна.
Вищевиведені формули Гріна використовують для доведення деяких властивостей гармонічних функцій.
Теорема
12.4.
Якщо функція
є гармонічною в обмеженій області
і
,
тоді
.
Доведення.
Покладемо в (12.10)
.
Маємо
Враховуючи,
що
,
маємо
.
Теорема 12.4 доведена.
Для
властивості, яка доведена в теоремі
12.4 є просте фізичне тлумачення. Розглянемо
стаціонарний процес поширення тепла в
деякому тілі
,
де функція
задає розподіл температури в
.
Властивість означає, що сумарний потік
тепла через межу
,
який визначається поверхневим інтегралом
,
дорівнює нулю.
§12.4. Єдиність розв’язку задачі Неймана
Розглянемо внутрішню задачу Неймана для рівняння Пуассона
,
(12.13)
,
. (12.14)
Теорема
12.5.
Нехай
.
Якщо розв’язок задачі (12.13), (12.14) існує,
то він визначається з точністю до
постійної.
Доведення.
Нехай
,
два розв’язки задачі (12.13), (12.14). Тобто
,
(12.15)
; (12.16)
,
(12.17)
,
. (12.18)
Віднімаючи
почленно рівняння (12.15) та (12.17) і граничні
умови (12.16) та (12.18), отримаємо, що функція
є розв’язком наступної крайової задачі:
,
(12.19)
.
(12.20)
Покладаючи
в (12.10)
,
маємо
або, з урахуванням (12.19), (12.20),
.
Тобто,
і
Отже,
.
Теорема 12.5 доведена.
В
загальному випадку розв’язку внутрішньої
задачі Неймана (12.13), (12.14) не існує.
Виведемо необхідну умову існування
даного розв’язку. Припустимо, що
.
Тоді, покладаючи в другій формулі Гріна
(12.12)
,
отримаємо
Далі, враховуючи (12.13) та (12.14), маємо
Отримана рівність і являє собою необхідну умову існування розв’язку внутрішньої задачі Неймана.
Насамкінець зауважимо, що зовнішня задача Неймана у просторі має не більше одного розв’язку. Однак, це твердження неможливо довести у випадку двох та однієї змінної.