Практична робота №4 Метод розділення змінних (метод Фур’є) для рівнянь гіперболічного типу

Приклад П4.1. Розв’язати наступну крайову задачу:

,

, .

Розв’язання. Як відомо , розв’язок крайової задачі

,

, ,

згідно методу розділення змінних подається у вигляді ряду

,

де

, .

В нашому випадку , а тому , n = 1,2,…. Отже,

.

Для визначення маємо

,

. (П4.1)

Рівність (П4.1) можлива лише у випадку

Відповідь:

Приклад П4.2. Розв’язати крайову задачу

(П4.2)

(П4.3)

. (П4.4)

Розв’язання. Розв’язок шукаємо у вигляді:

. (П4.5)

Підставляючи (П4.5) в рівняння (П4.2) та граничні умови (П4.3), розділяючи змінні, отримуємо рівняння для функції

(П4.6)

та задачу Штурма–Ліувіля для функції

, (П4.7)

. (П4.8)

Можливі наступні випадки:

1. , де ‑ довільні константи.

З граничних умов (П4.8) отримуємо Отже, не є власним значенням, оскільки .

2. .

З граничних умов (П4.8) отримуємо

Отже, немає власних значень , оскільки .

3. .

З граничних умов (П4.8) отримуємо

Отже, власним значенням

відповідають власні функції

, (П4.9)

Розв’язуючи рівняння (П4.6) при знайдених та враховуючи (П4.5), (П4.9), дістанемо

де довільні константи.

З початкових умов (П4.4) маємо:

Відповідь:

Приклад П4.3. Розв’язати наступну крайову задачу:

(П3.10)

Розв’язання. Якщо при задано неоднорідні граничні умови першого роду

то вводячи заміну

,

ми отримаємо однорідні граничні умови для нової невідомої функції

В нашому випадку

. (П4.11)

Тоді, знайшовши похідні та підставивши їх у рівняння (П4.10), дістанемо наступну першу мішану крайову задачу для нової невідомої функції :

Як відомо, розв’язок крайової задачі

, ,

подається у вигляді ряду

де

, .

Знайшовши , ми знайдемо , а з (П4.11) ‑ невідому функцію .

Завдання для самостійної роботи

I рівень

Розв’язати крайові задачі при .

1. ,

,

, .

2. ,

,

, .

3. ,

,

.

4. , , ,

, ,

5. , , ,

, ,

, .

II рівень

Розв’язати крайові задачі.

1. , , ,

, ,

, .

2. , , ,

,

, .

3. , , ,

.

4. , , ,

, ,

, .

5. , , ,

, ,

, .

Тема 5. Спеціальні функції математичної фізики

§ 5.1. Загальна задача Штурма-Ліувілля

Задачі на власні значення, які нам довелося розв’язувати в темі 4, є частковими випадками загальної задачі Штурма-Ліувілля.

Розглянемо звичайне диференціальне рівняння

(5.1)

де , , функція є обмеженою на .

Сформулюємо для рівняння (5.1) задачу Штурма-Ліувілля: знайти всі (власні значення), для яких існують нетривіальні розв’язки рівняння (5.1) (власні функції), які задовольняють граничним умовам

(5.2)

(5.3)

де - константи, причому , .

Розглянемо деякі властивості вказаних власних значень та власних функцій задачі (5.1)–(5.3).

Властивість 5.1. Якщо функція є власною функцією, яка відповідає власному значенню , то функція , де ‑ довільна константа, також буде власною функцією, яка відповідає власному значенню .

Властивість 5.2. Нехай та є власними функціями задачі (5.1)-(5.3), які відповідають власному значенню . Тоді будь-яка їх лінійна комбінація

,

де також буде власною функцією, яка відповідає цьому ж власному значенню .

Доведення двох вищенаведених властивостей здійснюється безпосередньою перевіркою, тобто, підстановкою функцій та відповідно в рівняння (5.1) та граничні умови (5.2), (5.3).

Властивість 5.3. Якщо є власними функціями задачі (5.1)–(5.3), які відповідають різним власним значенням , то вони ортогональні на відрізку з вагою , тобто,

(5.4)

Доведення. З рівняння (5.1) маємо

Домножуючи першу тотожність на , а другу на і віднімаючи результати один від одного, одержимо

Інтегруючи отриману тотожність на відрізку дістанемо

.

Застосуємо до інтеграла в правій частині отриманої рівності формулу інтегрування за частинами. З урахуванням того, що функції задовольняють умовам (5.2), (5.3), маємо

Отже,

Згідно умов теореми . Враховуючи вищенаведену рівність отримуємо (5.4).

Властивість 5.3 доведена.

Властивість 5.4. Всі власні значення задачі (5.1)-(5.3) дійсні.

Доведення. Припустимо, що є власним значенням, а відповідною власною функцією. Тоді виконується тотожність

або

Віднімаючи почленно ці тотожності, отримаємо

Таким чином, є власними значеннями та власною функцією розглядуваної задачі. Згідно властивості (5.3) маємо

або

Остання рівність неможлива, оскільки Ми прийшли до суперечності.

Властивість 5.4 доведена.

Властивість 5.5. Якщо , то всі власні значення задачі (5.1)–(5.3) невід’ємні.

Зауваження 5.1. Властивість 5.4 обґрунтовує те, чому ми в §4.1 не розглядали комплексних власних значень задачі Штурма-Ліувілля (4.8), (4.9).