Тема 18. Зведення крайових задач для рівнянь еліптичного типу до розв’язування інтегральних рівнянь

§18.1. Задача Діріхле для рівняння Лапласа

Метод розділення змінних і метод функції Гріна дозволяють отримати розв’язки крайових задач для рівнянь еліптичного типу лише у випадках областей найпростішого вигляду. Зведення крайових задач для рівнянь Лапласа або Пуассона за допомогою поверхневих потенціалів до інтегральних рівнянь з одного боку зручне для теоретичного дослідження питань існування та єдності розв’язку крайових задач, а з іншого боку дає можливість ефективного числового розв’язання даних задач для областей складної форми.

Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа в області , яка обмежена межею

, (18.1)

, . (18.2)

Розв’язок задачі (18.1), (18.2) будемо шукати у вигляді потенціалу подвійного шару

(18.3)

з невідомою густиною . Потенціал подвійного шару (18.3) є гармонічною функцією в області . Отже, густину потрібно знайти з умови, що граничне значення потенціалу (18.3) при прямуванні до границі зсередини області має дорівнювати .

Використовуючи результати теореми 15.3, маємо

або

(18.4)

Отже, для знаходження функції отримали інтегральне рівняння Фредгольма другого роду (18.4).

§18.2. Задача Неймана для рівняння Лапласа

Розглянемо задачу Неймана для рівняння Лапласа в області , яка обмежена границею

, (18.5)

. (18.6)

Розв’язок задачі (18.5), (18.6) будемо шукати у вигляді потенціалу простого шару

з невідомо густиною . Використовуючи формули (15.10) для нормальної похідної потенціалу простого шару зсередини області , отримуємо

або

. (18.7)

Отже, задача відшукання густини звелась до розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма другого роду (18.7).

§17.3. Задача Діріхле для рівняння Пуассона

Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона в області , яка обмежена поверхнею

, , (18.8)

. (18.9)

Згідно властивостей (див. тема 15), об’ємний потенціал з густиною

є частинним розв’язком рівняння (18.8). Тому, природно шукати розв’язок задачі (18.8), (18.9) у вигляді суми де невідома функція визначається з наступної крайової задачі:

, (18.10)

, (18.11)

де

Задача (18.10), (18.11) розглянута в §18.1.

Література

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа.- Москва: Наука, 1978.- 278с.

2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.- Москва: Наука,1969.-288с.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. – Москва: Наука, 1984. – 384с.

4. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.- Москва: Наука, 1976.- 296с.

5. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики.- Москва: Наука, 1985. - 312с.

6. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике.- Москва: Изд-во МГУ, 1998. - 350с.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Краткие интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.- Москва: Наука, 1985. – 464с.

8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике.- Москва: ГИТТЛ, 1956. - 684с.

9. Булах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теория поля. – Киев: Наук. думка, 1998. – 360с.

10. Вірченко Н.О. Деякі типові крайові задачі математичної физики та методи їх розв’язання.- Київ: Вищ. шк.,1976.- 56с.

11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики.- Москва: Наука,1981.- 512с.

12. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики.- Москва: Наука, 1982.- 256с.

13. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики.- Москва: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.- 700с.

14. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- Москва: Физматгиз, 1963.- 640с.

15. Годунов С.К. Уравнения математической физики.- Москва: Наука,1979.- 392с.

16. Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. Частина 2.- Київ: Либідь, 1994. – 304с.

17. Карташов Э.М. Аналитические методы в теплопроводности твердых тел.- Москва: Высш.шк.,1979.- 416с.

18. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики.- Москва: Высш.шк., 1970. - 712с.

19. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа //ДАН СССР.- 1955.- Т.102,№2.

20. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- Москва: Наука,1967.- 736с.

21. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- Москва: Наука,1973.- 576с.

22. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов.- Москва: Наука,1971.- 288с.

23. Лебедев Н.Н., Скальская И.П., Уфлянд Я.С. Сборник задач по математической физике.- Москва: ГИТТЛ, 1955.- 420с.

24. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.- Москва: Мир,1972.- 588с.

25. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – Минск: Вышэйш. шк., 1974.-677 с.

26. Мисюркеев И.В. Сборник задач и упражнений по методам математической физики.- Москва: Просвещение, 1975.- 167с.

27. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.- Москва: Наука, 1983.- 424с.

28. Михлин С.Г. Курс математической физики.- Москва: Наука, 1968.- 576с.

29. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.- Москва: Высш. шк.,1977.- 431с.

30. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач.- Москва: Наука,1987.- 240с.

31. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. – Москва: Наука, 1978. - 320с.

32. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1.- Москва: Наука, 1990.- 464с.

33. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. II. – Москва: Наука, 1991. -544с.

34. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики. – Київ: Либідь, 2001. – 333с.

35. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- Москва: Физматгиз, 1961.- 300с.

36. Положій Г.М. Рівняння математичної фізики. – Київ: Рад. шк., 1959. - 479с.

38. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: В 2 т.- Москва: Мир,1982-1984.

39. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. - Москва: Наука, 1975.- 352с.

40. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння у прикладах і задачах.- Київ: Вищ. шк., 1994.- 455с.

41. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. І. – Москва: ГИТТЛ, 1954. – 472с.

42. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.- Москва: Наука, 1964.- 208с.

43. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики.- Москва: ГИФМЛ, 1961.- 112с.

44. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Москва: Наука,1988.- 344с.

45. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.- Москва: Наука, 1966. - 444с.

46. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- Москва: ГИФМЛ, 1958.-468с.

47. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций.- Москва: Наука, 1968.- 208с.

48. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- Москва: Наука, 1979.- 327 с.

49. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- Москва: Наука,1977.- 736с.

50. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.ІІ. – Москва: Наука, 1970. – 800с.

51. Эйдельман С.Д. Параболические системы.- Москва: Наука, 1964.- 444с.

52. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique// Bull. Univ. Princeton.- 1902.- V.13.

Навчальне видання

Петро Миколайович Мартинюк