Тема 8. Метод розділення змінних для параболічних рівнянь

§ 8.1. Перша мішана крайова задача для одновимірного параболічного рівняння

Розв’яжемо методом розділення змінних (методом Фур’є) наступну крайову задачу:

(8.1)

(8.2)

(8.3)

Будемо вимагати, щоб початкова та граничні умови були не суперечливі, тобто, вони задовольняють умову узгодженості

.

Розв’язок крайової задачі (8.1)-(8.3) шукаємо у вигляді

(8.4)

Підставивши (8.4) у рівняння (8.1) і граничні умови (8.3) та відокремивши змінні, отримаємо рівняння для функції

, (8.5)

та задачу Штурма-Ліувілля для функції

(8.6)

(8.7)

де -довільна стала.

Задача (8.6),(8.7) досліджена в темі 4 (див. §4.1, задача (4.8), (4.9)). Як було показано, власними значеннями спектральної задачі (8.6), (8.7) є а відповідні власні функції мають вигляд

(8.8)

де

Підставивши власні значення в рівняння (8.5), одержимо

. (8.9)

Інтегруючи звичайне диференціальне рівняння (8.9), маємо

(8.10)

де

Згідно (8.4), функції , де , задовольняють рівняння (8.1) та граничні умови (8.3). В силу лінійності та однорідності рівняння (8.1) сума частинних розв’язків

(8.11)

також задовольняє даному рівнянню та граничним умовам (8.3). Коефіцієнти вибирають так, щоб ряд (8.11) задовольняв початкову умову (8.2). Тобто,

(8.12)

Нехай і задовольняє умову узгодженості

.

Тоді розкладається в ряд Фур’є за системою власних функцій і з (8.12) отримаємо

. (8.13)

Можна показати, що ряд (8.11), де визначається за формулою (8.13), при , на сегменті можна почленно диференціювати довільну кількість разів як по , так і по , причому він визначає неперервну функцію на . Це обґрунтовує одержаний результат.

Знайдемо розв’язок неоднорідного рівняння параболічного типу

(8.14)

де функція задовольняє крайовим умовам (8.2), (8.3).

Аналогічно, як і при розв’язуванні гіперболічних рівнянь (див. тема 4, §4.2), згідно принципу редукції, розв’язок задачі (8.14), (8.2),(8.3) будемо шукати у вигляді

, (8.15)

де є розв’язком задачі (8.1)-(8.3), а є розв’язком крайової задачі

(8.16)

(8.17)

(8.18)

Згідно вищенаведених міркувань функція подається у вигляді ряду (8.11) з коефіцієнтами (8.13).

Функцію , як розв’язок крайової задачі (8.16)-(8.18) шукаємо у вигляді

(8.19)

де є власними функціями задачі Штурма-Ліувілля (8.6), (8.7). Тобто, (тут довільні константи покладені рівними одиниці). Ряд (8.19) задовольняє граничні умови (8.18). Потрібно вибрати функції таким чином, щоб він також задовольняв рівняння (8.16) та початкові умови (8.17).

Припустимо, що функцію можна розкласти в ряд Фур’є за системою власних функцій

(8.20)

де

. (8.21)

Підставляючи ряди (8.19), (8.20) у рівняння (8.16), одержимо

що можливо лише у випадку

(8.22)

Щоб функція задовольняла початкову умову (8.17) потрібно вимагати

(8.23)

(щоб отримати (8.23) досить підставити ряд (8.19) в (8.17)).

Лінійне звичайне диференціальне рівняння першого порядку (8.22) розв'яжемо методом Бернуллі. Розв'язок шукаємо у вигляді

Тоді з (8.22) маємо

(8.24)

Функцію виберемо з умови

Тоді, наприклад, можемо взяти

(8.25)

Враховуючи (8.25), з (8.24) маємо

Тобто,

З умови (8.23) маємо

Тоді

Враховуючи вищенаведені міркування, з (8.19) отримаємо

.

Отже, розв'язком першої мішаної крайової задачі для неоднорідного параболічного рівняння (8.14), (8.2), (8.3) є функція

де визначаються формулами (8.13), (8.21) відповідно.

Аналогічно, як і для рівнянь гіперболічного типу, мішану першу крайову задачу з неоднорідними граничними умовами можна звести до задачі з однорідними граничними умовами, але неоднорідним рівнянням.