§ 4.2. Перша мішана крайова задача для неоднорідного хвильового рівняння (вимушені коливання струни)

Знайдемо розв’язок крайової задачі

, , , (4.16)

, , , (4.17)

, , . (4.18)

Згідно принципу редукції загальної задачі (див. §2.6) розв’язок крайової задачі (4.16)–(4.18) шукаємо у вигляді

, (4.19)

де є розв’язком задачі (4.1)–(4.3), а – розв’язком задачі

(4.20)

, , , (4.21)

, , . (4.22)

Згідно попереднього параграфу визначається рядом (4.14) з коефіцієнтами (4.15). Функцію шукаємо у вигляді

(4.23)

де є власними функціями задачі Штурма–Ліувілля (4.8), (4.9). Тобто, (тут довільні константи покладемо рівними одиниці).

Ряд (4.23) задовольняє граничні умови (4.22). Потрібно вибрати функції таким чином, щоб він також задовольняв рівняння (4.20) та початкові умови (4.21).

Припустимо, що функцію можна розкласти в ряд Фур’є за системою власних функцій

, (4.24)

де . Підставляючи ряди (4.23), (4.24) у рівняння (4.20), маємо

що можливе лише у випадку

(4.25)

Щоб функція задовольняла початкові умови (4.21), потрібно вимагати

. (4.26)

Для отримання (4.26) досить підставити ряд (4.23) в умови (4.21).

Характеристичне рівняння для лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами (4.25) має вигляд

звідки маємо

Тому, згідно методу варіації довільної сталої (метод Лагранжа), загальний розв’язок рівняння (4.25) шукаємо у вигляді (див., наприклад, [25, 40, 46])

Для визначення невідомих функцій , маємо систему

звідки одержимо (методом підстановки або додавання)

Отже, загальним розв’язком рівняння (4.25) є

або

Для визначення констант та використаємо умови (4.26)

Тоді розв’язком задачі Коші (4.25), (4.26) є функція

.

Отже, розв’язок задачі (4.16)–(4.18) має вигляд

Можна довести, що одержаний ряд буде розв’язком поставленої задачі, якщо функція неперервна і при [34, ст.123].

§ 4.3. Перша мішана крайова задача для неоднорідного хвильового рівняння з неоднорідними граничними умовами

Знайдемо розв’язок крайової задачі

, , , (4.27)

, , , (4.28)

, , , (4.29)

де - деякі задані функції змінної . Вводячи заміну

для нової невідомої функції отримаємо наступну крайову задачу

, , , (4.30)

, , , (4.31)

, , , (4.32)

де

, , .

Задача (4.30)–(4.32) розв’язана в попередньому параграфі.

Отже, першу мішану крайову задачу з неоднорідними граничними умовами можна звести до задачі з однорідними граничними умовами.

§ 4.4. Перша мішана крайова задача для однорідного хвильового рівняння в прямокутнику (вільні коливання прямокутної мембрани)

Розглянемо наступну крайову задачу:

, (4.33)

(4.34)

, (4.35)

(4.36)

Вимагаємо виконання умов узгодженості

Фізично задача (4.33)‑(4.36) описує коливання однорідної прямокутної мембрани зі сторонами і які здійснюються внаслідок початкового відхилення і початкової швидкості, причому, край мембрани нерухомо закріплений.

Як і в одновимірному випадку, розв’язок шукаємо у вигляді

. (4.37)

Підставляючи (4.37) у рівняння (4.33) та граничні умови (4.35), (4.36) і відокремлюючи змінні, отримуємо для функції рівняння

, (4.38)

а для функції крайову задачу

(4.39)

Задачу на власні значення (4.39) також розв’язуємо методом відокремлення змінних. Тобто,

. (4.40)

Відокремлюючи змінні в задачі (4.39), одержуємо дві задачі на власні значення

(4.41)

(4.42)

Повторюючи міркування, наведені при дослідженні задачі Штурма–Ліувілля (4.8), (4.9), дістанемо

де , − деякі константи.

Отже, власним значенням задачі (4.39)

відповідають власні функції

(4.43)

де .

Підставивши знайдені власні значення у рівняння (4.38) та проінтегрувавши його, одержимо

,

де – константи.

Отже, частковим розв’язком рівняння (4.33), який задовольняє граничні умови (4.35), (4.36), буде

де В силу лінійності та однорідності рівняння, сума його часткових розв’язків буде загальним розв’язком даного рівняння. Тобто,

(4.44)

Для відшукання та використаємо початкові умови (4.34). Маємо

Припустимо, що функції в прямокутнику можна розкласти в подвійні ряди Фур’є

де ;

де .

Тоді одержимо

тобто

. (4.45)

Отже, загальним розв'язком задачі (4.33)-(4.36) є ряд (4.44) з коефіцієнтами (4.45).