§12.5. Єдиність розв’язку першої мішаної крайової задачі для гіперболічних рівнянь
Розглянемо першу мішану крайову задачу для рівняння гіперболічного типу
(12.21)
(12.22)
,
(12.23)
в області
,
де
‑ деяка скінченна область тривимірного
простору, обмежена поверхнею
.
Теорема
12.6.
В класі функцій
розв’язок задачі (12.21)-(12.23), якщо він
існує, єдиний.
Доведення.
Припустимо, що існує два розв’язки
,
задачі (12.21)-(12.23). Тоді функція
є розв’язком наступної крайової задачі
(12.24)
(12.25)
.
(12.26)
Згідно
першої формули Гріна (12.10) при
,
одержимо
(12.27)
Враховуючи,
що згідно рівняння (12.24)
і згідно граничної умови (12.26)
,
з рівності (12.27) маємо
Останню рівність запишемо у вигляді
(12.28)
або
(12.29)
де
Розв’язуючи
(12.29), отримаємо
,
де
.
Згідно початкових умов (12.25) маємо
.
Отже,
А це можливо лише у випадку, коли
Тому
,
де
.
Згідно першої з початкових умов (12.25)
тобто
.
Таким чином,
і
Теорема 12.6 доведена.
Тема 13. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для еліптичних рівнянь
§13.1. Задача Діріхле для рівняння Лапласа в прямокутнику
Знайдемо розв’язок рівняння Лапласа
(13.1)
в прямокутнику ОАСВ (рис.13.1) при умові, що на сторонах прямокутника задані граничні умови першого роду
,
, (13.2)
,
, (13.3)
де
-
задані функції.
Рис. 13.1. Область розв’язку задачі
Будемо вимагати виконання умов узгодження граничних умов
,
,
,
. (13.4)
Шукану функцію подамо у наступному вигляді
, (13.5)
де
- гармонічна функція, яка вибирається
так, щоб нова невідома функція
в усіх вершинах прямокутника перетворювалась
в нуль. Покладаючи
, (13.6)
бачимо,
що дана функція є гармонічною. Невідомі
коефіцієнти
виберемо з умов (13.2), (13.3) та умов
.
Тоді маємо
.
Звідки
,
,
,
.(13.7)
Підставляючи (13.5) в умови (13.2), (13.3) та врахувавши (13.6), (13.7), отримаємо, що гармонічна функція задовольняє граничні умови
, (13.8)
, (13.9)
де
функції
,
,
,
перетворюються в нуль у вершинах
прямокутника і
,
,
,
.
Функцію можна подати у вигляді суми чотирьох гармонічних функцій (проводимо редукцію загальної задачі)
,
кожна з яких приймає задане значення на одній із сторін і перетворюється в нуль на інших трьох сторонах прямокутника.
Знайдемо
одну з таких функцій, наприклад
з рівняння
(13.10)
і яка задовольняє граничні умови
,
. (13.11)
Покладаючи
,
з (13.10) отримуємо
або
, (13.12)
. (13.13)
З граничних умов (13.11) маємо
, (13.14)
.
(13.15)
Задача Штурма-Ліувілля (13.13), (13.14) нами розв’язана (див. тема 4) і
.
Характеристичне рівняння для (13.12) має вигляд
.
Звідки отримуємо
або
Тоді загальним розв’язком лінійного диференціального рівняння (13.12) є
,
де
деякі
константи. Умова (13.15) дає
.
Тоді
,
або
,
де
.
Отже, розв’язок задачі (13.10), (13.11) можна
подати у вигляді ряду
,
де
.
З граничної умови
маємо
,
де
.
Отже,
.
Аналогічно
знаходячи
одержимо
де
