§16.2. Інтегральні рівняння з виродженими ядрами

Ядро називається виродженим, якщо воно має вигляд (16.3) де система функцій є лінійно незалежною.

Розв’язання рівнянь Фредгольма другого роду з виродженим ядром зводиться до знаходження розв’язків СЛАР. Підставляючи в рівняння (16.2) ядро (16.3), отримаємо

(16.4)

де

.

Отже, загальний розв’язок рівняння (16.2) з виродженим ядром (16.3) потрібно шукати у вигляді (16.4). Підставляючи (16.4) в (16.2), маємо

,

де ; .

Прирівнюючи коефіцієнти при одних і тих же функціях , , зліва і справа вищенаведеної рівності, отримуємо СЛАР відносно невідомих

, .

Розв’язавши дану СЛАР, знайдемо коефіцієнти , а отже і розв’язок рівняння (16.2) з виродженим ядром (16.3) у вигляді (16.4).

§16.3. Теореми Фредгольма

Розглядаємо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду в одновимірному випадку

(16.5)

та відповідне йому однорідне інтегральне рівняння

. (16.6)

Рівняння (16.6) має тривіальний розв’язок .

Значення параметра , при яких рівняння (16.6) має нетривіальні розв’язки називаються власними значеннями рівняння (16.6) (ядра ), а відповідні їм розв’язки - власними функціями рівняння (або ядра).

Теорема 16.1. Якщо у рівнянні (16.5) не дорівнює власному значенню відповідного однорідного рівняння (16.6), то розв’язок рівняння (16.5) єдиний.

Доведення. Припустимо, що рівняння (16.5) має два розв’язки та . Тоді справедливі рівності

,

.

Віднімаючи почленно вищенаведені рівняння, отримаємо

. (16.7)

Оскільки не є власним значенням, то (16.7) має лише тривіальні розв’язки, тобто або .

Теорема 16.1 доведена.

Теорема 16.2 (Перша теорема Фредгольма). Для довільного , не рівного власному значенню, рівняння (16.5) має розв’язок і цей розв’язок єдиний.

Спряженим до рівняння (16.5) називається рівняння вигляду . (16.8)

Теорема 16.3 (Друга теорема Фредгольма). Якщо є власним значенням ядра , то як однорідне інтегральне рівняння (16.6), так і спряжене йому рівняння мають скінченне число лінійно незалежних розв’язків.

Теорема 16.4 (Третя теорема Фредгольма). Нехай є власним значенням ядра . Тоді для того, щоб рівняння (16.5) мало розв’язок, необхідно і достатньо, щоб функція була ортогональною всім власним функціям спряженого однорідного рівняння, які відповідають даному власному значенню.

Неоднорідне рівняння Вольтерра має розв’язок при довільних . Тобто, рівняння Вольтерра не має власних значень.

Тема 17. Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь

§17.1. Метод послідовних наближень

Розглядаємо інтегральне рівняння Фредгольма другого роду в одновимірному випадку

. (17.1)

Зробимо наступні припущення:

1) Ядро є неперервною функцією у квадраті . Тоді воно обмежене деякою додатною константою , тобто ;

2) Функція неперервна на . Тоді вона обмежена на даному відрізку деякою додатною константою , тобто .

Розв’язок рівняння (17.1) будемо шукати у вигляді послідовності функцій

(17.2)

де - довільна інтегрована функція;

(17.3)

.... .... ....

(17.4)

.... .... ....

Теорема 17.1. При значеннях послідовність функцій (17.2)-(17.4) , рівномірно збігається на відрізку до функції , яка є розв’язком рівняння (17.1).

Доведення. Перетворимо формули для отримання функцій . Підставляючи функцію в (17.3), отримаємо

де .

Аналогічно,

де .

Границя послідовності функцій якщо вона існує, дорівнює сумі ряду

(17.5)

Доведемо рівномірну збіжність ряду (17.5). Для цього оцінимо величини . Очевидно, що

;

;

.... .... ....

.

Отже,

Тому ряд

(17.6)

є мажорантним для ряду (17.5). Якщо , то ряд (17.6) збігається. Отже, при таких ряд (17.5) рівномірно збігається, а з ним збігається також послідовність функцій до функції . Дана функція є розв’язком рівняння (17.1). Перейшовши до границі y (17.4) при , отримаємо

.

Перехід під знаком інтеграла до границі тут законний, оскільки послідовність функцій збігається рівномірно.

Теорема 17.1 доведена.

При < збігається і ряд . Оскільки даний ряд є мажорантним для ряду , то ряд збігається рівномірно. Тому ряд (17.5) можна записати у вигляді

або

(17.7)

де функція називається резольвентою рівняння (17.1).

Якщо застосувати вищеописаний метод (який називається методом послідовних наближень) до рівняння Вольтерра

,

то отримана послідовність функцій

,

,

.... .... ....

,

.... .... ....

буде збігатися рівномірно на відрізку при довільних значеннях .