§1.3. Канонічний вигляд диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку

Розглянемо область в усіх точках якої рівняння (1.1) має один і той самий тип. Через кожну точку області проходять дві характеристики, причому для рівнянь гіперболічного типу характеристики дійсні і різні, для рівнянь еліптичного типу – комплексні і різні, а для рівнянь параболічного типу дві характеристики дійсні і співпадають.

Розберемо кожен з цих випадків окремо.

1. Для рівняння гіперболічного типу і праві частини рівнянь (1.13) та (1.14) дійсні і різні. Їх загальні інтеграли , визначають дійсні сім’ї характеристик. Покладаючи

, , (1.15)

приводимо рівняння (1.7) після ділення на коефіцієнт при до виду

, (1.16)

де . Це – канонічна форма рівнянь гіперболічного типу. Часто користуються іншою канонічною формою. Покладемо

, ,

тобто,

, ,

де і - нові незалежні змінні. Тоді

, ,

і рівняння (1.16) набуде вигляду

,

де .

2. Для рівнянь параболічного типу . Рівняння (1.13), (1.14) співпадають і загальним інтегралом рівняння (1.9) є . Покладемо в даному випадку , , де - довільна функція, незалежна від . Тоді

,

оскільки з рівності маємо . Звідси випливає

Після ділення рівняння (1.7) на коефіцієнт при , отримаємо канонічну форму рівняння параболічного типу

,

де .

3. Для рівняння еліптичного типу і праві частини диференціальних рівнянь (1.13), (1.14) різні та комплексно спряжені. Нехай - комплексний інтеграл рівняння (1.13). Тоді , де - спряжена функція до , буде являти собою загальний інтеграл спряженого рівняння (1.14). Перейдемо до комплексних змінних, ввівши заміну

, .

При цьому рівняння еліптичного типу зводиться до такого ж виду, що й гіперболічне. Оскільки в даному посібнику ми будемо розглядати рівняння лише з дійсними коефіцієнтами, то введемо нові дійсні змінні  і  за правилом

, , (1.17)

тобто,

, .

З (1.17) випливає, що

,

де , і рівняння (1.1) набуває вигляду

, (1.18)

де

а функція не залежить від похідних другого порядку. Тоді

Тобто, і . Це випливає з вищенаведеної рівності двох комплексних чисел: два комплексні числа рівні, якщо їх дійсні та уявні частини рівні. В результаті рівняння (1.18), після ділення на коефіцієнт при , набуде вигляду

,

де .

Таким чином, в залежності від знаку виразу ( ) мають місце наступні канонічні форми рівняння (1.1):

гіперболічний тип : або ;

параболічний тип : ;

еліптичний тип : .

§1.4. Канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами

Припустимо, що в рівнянні (1.2) коефіцієнти є сталими. Тоді за допомогою відповідного перетворення змінних дане рівняння зводиться до одного з наступних канонічних видів:

або

(гіперболічний тип); (1.19)

(параболічний тип); (1.20)

(еліптичний тип). (1.21)

Для подальшого спрощення проведемо заміну , де - нова невідома функція, - поки-що невідомі константи. Тоді

,

,

,

,

.

Підставляючи знайдені похідні, наприклад, в рівняння (1.21) і, поділивши на множник , отримуємо

.

Параметри виберемо так, щоб два коефіцієнти при перших похідних перетворились в нуль. Тобто, , . В результаті отримаємо

,

де , .

Виконуючи аналогічні дії для рівнянь (1.19) та (1.20), отримуємо наступні канонічні форми ДРЧП другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

або (гіперболічний тип);

(параболічний тип);

(еліптичний тип).