§ 7.2. Принцип максимуму

В площині розглянемо скінчену область , обмежену кривою (див. рис. 7.2). Побудуємо циліндричну поверхню з направляючою та твірною, паралельною осі . Частину циліндричної поверхні, яка міститься між площинами і ( - додатна стала) позначимо через , а через  - проекцію області на площину Область, обмежену границею позначимо через , а - замикання області .

Рис. 7.2. Область

Теорема 7.1. (Принцип максимуму). Нехай функція задовольняє однорідне рівняння тепло- (масо)переносу

. (7.7)

Тоді максимальне та мінімальне значення в функція набуває на межі .

Доведення проведемо для двох випадків.

1. Функція задовольняє всі умови теореми, а її значення в області є однаковим. Це не суперечить твердженню теореми, тому що значення функції в не більше і не менше за значення функції на межі .

2. В загальному випадку доведення достатньо провести для максимуму. Якщо функція в деякій точці досягає максимуму, то функція в цій точці досягає мінімуму і для неї справедливі всі умови і твердження теореми.

Нехай

Очевидно, що . Нам потрібно довести рівність Припустимо, що . Тоді в існує точка , така, що . Розглянемо допоміжну функцію

.

Тоді

.

Якщо то і

Отже, існує точка, яка належить , в якій функція приймає найбільше значення Позначимо дану точку через . Припустимо спочатку, що . Тоді в даній точці для функції виконуються необхідні умови максимуму

.

Тоді

.

З другого боку для всіх виконується нерівність

Отже, ми прийшли до протиріччя.

Нехай . Це означає що , тобто є граничною точкою проміжку , а точка ) є внутрішньою точкою області . Тоді в точці виконуються наступні необхідні умови максимуму:

.

Отже,

а вираз в квадратних дужках завжди менший нуля для всіх і ми знову прийшли до протиріччя.

Отже, і найбільше значення функція досягає в точках межі .

Теорема 7.1 доведена.

Наслідок 7.1. Якщо функція задовольняє однорідне рівняння (7.7) і виконується умова при , то дана нерівність справедлива для всіх .

Фізичний зміст принципу максимуму очевидний. Якщо температура тіла в початковий момент часу і на його межі не перевищує деякого значення то, за відсутності внутрішніх джерел тепла, температура у внутрішній точці тіла не може перевищувати значення .

§ 7.3. Граничні та початкові умови. Їх фізична інтерпретація

Для забезпечення єдиності розв’язку рівняння параболічного типу до нього потрібно приєднати початкові та граничні умови для шуканої функції. Початкова умова, на відміну від рівнянь гіперболічного типу, полягає в задані лише початкових значень функції в початковий момент часу

(7.8)

де - відома функція.

Граничні умови можуть бути трьох родів (2.6)-(2.8).

Першого роду. Для невідомої функції на межі області задається відоме значення

, , , (7.9)

де - відома функція (задана температура).

Другого роду. Задається тепловий потік з поверхні

, (7.10)

де - коефіцієнт теплопровідності.

Третього роду. Проходить теплообмін із зовнішнім середовищем, температура якого дорівнює

, , (7.11)

де – коефіцієнт теплообміну.