Практична робота №1 Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку

Приклад П1.1. Звести рівняння до канонічного вигляду в кожній із областей, де його тип зберігається

. (П1.1)

Розв’язання.

Тут . Отже, можливі наступні випадки:

1. рівняння (П1.1) – це рівняння гіперболічного типу. Характеристичне рівняння має вигляд

,

,

або ,

, .

В рівнянні (П1.1) проводимо заміну змінних

, (П1.2)

Тоді

;

.

Підставивши знайдені похідні в (П1.1), дістанемо

,

,

(П1.3)

З (П1.2) маємо

. (П1.4)

Провівши заміну в (П1.3) згідно (П1.4), отримаємо

2. рівняння (П1.1) – це рівняння еліптичного типу. Характеристичне рівняння має вигляд

,

,

або ,

, .

В рівнянні (П1.1) проводимо заміну змінних

, ,

де

, .

Тоді

, ;

.

З (П1.1) отримаємо

,

. (П1.5)

Оскільки , то з (1.8) дістанемо

.

3. і рівняння (П1.1) вироджується в рівняння .

Відповідь:

1. x<0:

, , .

2. x>0:

, , .

Завдання для самостійної роботи

I рівень

Звести рівняння до канонічного вигляду.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

II рівень

Звести рівняння до канонічного вигляду в кожній із областей, де його тип зберігається.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. 

Практична робота №2 Зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами

Приклад П2. 1. Звести наступне диференціальне рівняння з частинними похідними до канонічного вигляду

. (П2.1)

Розв’язання. Тут , . Отже, рівняння (П2.1) – це рівняння еліптичного типу. Характеристичне рівняння має наступний вигляд:

,

,

Отже,

або .

Розв’язавши вищевказані звичайні диференціальні рівняння, отримаємо рівняння першої характеристики

,

та рівняння другої характеристики

.

Щоб отримати рівняння з дійсними коефіцієнтами проведемо наступну заміну змінних

, ,

де , . Тоді

, .

Проводимо заміну похідних:

;

;

Підставивши знайдені похідні в (П2.1), отримаємо:

,

. (П2.2)

Для подальшого спрощення введемо заміну

,

де - нова невідома функція;

,  - сталі, які потрібно знайти.

Тоді

;

;

;

.

Проводячи заміну, з рівняння (П2.2) дістанемо

. (П2.3)

Виберемо  та  з умови рівності нулю коефіцієнтів при та . Маємо

При знайдених та з (П2.3) отримаємо

.

Відповідь: ,

де , , .

Завдання для самостійної роботи

I рівень

Звести рівняння до канонічного вигляду.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

II рівень

Звести рівняння до канонічного вигляду.

1. .

2. .

3. , a,b,c – const.

4. , a,b,c – const.

Розділ 2 Рівняння гіперболічного типу

Тема 2. Хвильове рівняння та постановки крайових задач

§2.1. Рівняння коливань струни

До рівнянь гіперболічного типу приводять процеси коливань [2, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 36, 39, 45, 49]. Наприклад, коливання струни, мембрани, газу, електромагнітні коливання. Характерною особливістю даних фізичних процесів є скінченна швидкість їх поширення.

Описання процесу коливання струни можна провести за допомогою задання положення точок струни в різні моменти часу. Для визначення положення струни в момент часу достатньо задати положення вектора зміщення для будь-якої точки струни .

Зробимо наступні припущення:

1. Коливання здійснюються в одній площині і вектор зміщення є перпендикулярним до осі в довільний момент часу . Тоді процес коливання можна описати однією функцією , яка характеризує вертикальне зміщення точок струни.

2. Струна є абсолютно гнучкою, тобто сила натягу значно перевищує силу опору струни . Тому надалі вважаємо, що .

3. Струна абсолютно пружна, тобто виконується закон Гука – сила натягу прямо пропорційна видовженню.

4. Сили опору навколишнього середовища відсутні і коливання струни малі, тобто , де - гострий кут між дотичною до струни в точці в момент часу та віссю (див. рис. 2.1).

Враховуючи припущення 4, з розкладу випливає, що . Тоді , тобто . Також . Звідси і .

Розглянемо частину струни між точками та (див. рис.2.1). Тоді . Отже, довжина струни в процесі коливань не змінюється. Тоді в силу припущень 2-4 сила натягу не залежить від часу.

Рис. 2.1. Коливання струни

Нехай - зовнішня сила, паралельна осі , рівномірно розподілена вздовж струни і розрахована на одиницю довжини; - сила інерції. Згідно принципу Д’Аламбера сума проекцій всіх сил, що діють на проміжок струни , на відповідну координатну вісь, рівна нулю. Маємо

, , , .

Отже,

,

.

В силу довільності точок та випливає, що .

Визначимо суму проекцій всіх сил, які діють на проміжок струни , на вісь і за принципом Д’Аламбера прирівняємо до нуля. Проекція сили натягу в точці визначиться наступним чином: . Аналогічно, в точці : . Взявши до уваги зовнішні сили , що діють на проміжок та сили інерції , де - лінійна густина струни, маємо

,

,

.

В силу довільності точок та з останньої рівності дістанемо

, (2.1)

де ; - інтенсивність зовнішніх сил.

Поперечні коливання мембрани, яка в площині займає область , описуються рівнянням

, (2.2)

де функція характеризує положення точок мембрани в різні моменти часу .

У випадку тривимірного простору хвильове рівняння набуває вигляду

(2.3)

або

. (2.4)

До рівняння (2.4) приводять задачі про розповсюдження звуку в однорідному середовищі та електромагнітних хвиль в однорідному непровідному середовищі [36, 49].