§ 8.2. Перша мішана крайова задача для параболічного рівняння в прямокутнику Знайдемо розв’язок крайової задачі

(8.26)

(8.27)

(8.28)

(8.29)

Розв’язок шукаємо у вигляді

(8.30)

Підставляючи (8.30) у (8.26) та граничні умови (8.28), (8.29) і розділяючи змінні, отримуємо рівняння для функції

(8.31)

та задачу Штурма – Ліувілля для функції

(8.32)

Задача на власні значення (8.32) розв’язана в темі 4

Підставивши знайдені власні значення у рівняння (8.31) та проінтегрувавши його, одержимо

.

Отже, частковим розв’язком рівняння (8.26), який задовольняє граничні умови (8.28), (8.29), буде

де .

В силу лінійності та однорідності рівняння (8.26) сума його часткових розв’язків буде загальним розв’язком даного рівняння. Тобто,

Використовуючи умову (8.27), отримаємо

Тобто, ‑ коефіцієнти розкладу функції в подвійний ряд Фур’є за системою власних функцій .

§ 8.3. Перша мішана крайова задача для параболічного рівняння в крузі

Розглянемо першу мішану крайову задачу для однорідного параболічного рівняння в крузі радіуса . Перейшовши до полярних координат, отримаємо

(8.33)

(8.34)

(8.35)

Як видно з попереднього параграфу, розв’язок задачі такого типу можна подати у вигляді

, (8.36)

де підсумовування розповсюджується на всі власні функції задачі

(8.37)

Задача (8.37) на власні значення була досліджена при вивченні коливань круглої мембрани. Кожному власному значенню відповідають дві власні функції

де - корінь рівняння Використовуючи вирази для та з (8.36), одержимо

де коефіцієнти визначаються з початкової умови (8.34)

, ,

Практична робота №5 Метод відокремлення змінних для рівнянь параболічного типу

Приклад П5.1. Розв’язати наступну крайову задачу:

(П5.1)

(П5.2)

, (П5.3)

де .

Розв’язання. Як відомо, розв’язком задачі

.

є функція , яка подається у вигляді ряду

де

В нашому випадку

Отже,

.

Відповідь:

Приклад П5.2. Розв’язати наступну крайову задачу:

(П5.4)

(П5.5)

(П5.6)

Розв’язання. Розв’язок шукаємо у вигляді

Тоді з рівняння (П5.4) отримуємо

Розділяючи змінні, маємо рівняння для функції

та задачу Штурма-Ліувілля для функції

(П5.7)

(П5.8)

де

Розв’язок задачі (П5.7), (П5.8) відомий:

Підставляючи в рівняння для та розв’язуючи його , знаходимо

Отже,

де знаходимо з використанням початкової умови (П5.5).

Відповідь:

.

Приклад П5.3. Розв’язати наступну крайову задачу:

(П5.9)

(П5.10)

(П5.11)

де

Розв’язання. Щоб звести неоднорідні граничні умови (П5.11) до однорідних введемо наступну заміну:

де ‑ нова невідома функція. Тоді

Отже, маємо наступну крайову задачу для функції

Як відомо

де

Повертаючись до проведеної заміни, маємо

Відповідь: