§I.3.4 удар абсолютно упругих и неупругих тел

Удар - изменение скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. При соударении, тела в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел.

Явление удара разделяется на две стадии: в течение первой стадии, вследствие взаимной деформации, происходит сближение центров масс обоих тел, в течение второй стадии центры масс снова удаляются друг от друга. Если вторая стадия отсутствует, то удар будет неупругим; если в течение второй стадии деформация полностью исчезает, причём нет перехода механической энергии в теплоту, то удар будет абсолютно упругим. В действительности наблюдаются промежуточные случаи полуупругого удара. Большую роль играет при ударе то, являются ли поверхности соприкосновения гладкими или шероховатыми. В последнем случае скольжение тел к концу соударения исчезает. Удар называется центральным, если прямая, соединяющая центры масс, совпадает с общей нормалью к поверхностям обоих тел в точках их соприкосновения; в противном случае – удар нецентральный. Если тела до удара совсем не вращаются и движутся друг относительно друга только в направлении общей нормали, то удар называется прямым. В случае прямого удара трение не играет роли.

Рассмотрим два предельных случая:

• абсолютно неупругий удар;

• абсолютно упругий удар.

Абсолютно неупругим называется такой удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. После удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как одно тело), либо покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не соблюдается – механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю.

Рассмотрим этот случай на примере удара абсолютно неупругих шаров. Два шара с массами и (рис. 31,а) двигаются в одном направлении со скоростями и .

а)

б)

Рисунок 31 – Движение шаров: а) до взаимодействия; б) после взаимодействия

После взаимодействия (т.е. после абсолютно неупругого удара) оба шара будут двигаться с общей скоростью (рис.31, б). Применим к этой системе закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса):

. (I.90)

Следствия:

1. Скорость шаров и изменилась на величину и соответственно.

2. Если и (шары идут навстречу друг другу), то .

3. Если удар направлен в сторону неподвижного тела с большой массой (например, стена, ), то

.

Как изменяется кинетическая энергия при неупругом ударе?

Перед столкновением энергия равна: .

После столкновения .

Убыль кинетической энергии за время столкновения:

. (I.91)

Итак, кинетическая энергия сохраняется в отсутствии какого-либо столкновения, т.е. когда скорости совпадают и шары движутся в одном направлении. Но если скорости и различны, то кинетическая энергия убывает, производя при этом работу деформации и превращаясь в теплоту.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкиваясь, друг от друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются со скоростями, определяемыми двумя условиями – сохранением суммарной энергии и суммарного импульса тел.

Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух однородных шаров, т.е. когда скорости тел до удара направлены вдоль линии, соединяющей центры масс этих тел.

Два шара с массами и движутся поступательно вдоль горизонтальной прямой со скоростями и (рис.32, а). Требуется определить скорости шаров и . Пусть скорости шаров и после удара ориентированы так, как показано на рисунке 32,б.

При выбранной ориентации заданных векторов , и оси имеем

. (I.92)

а)

б)

Рисунок 32 – Движение шаров: а) до взаимодействия; б) после взаимодействия

Система шаров консервативна, и поэтому к ней применим закон сохранения механической энергии в виде

, (I.93)

так как потенциальная энергия шаров в поле тяготения Земли при движении по горизонтали не изменяется.

Решая совместно уравнения (I.92) и (I.93), находим скорости и , которые тела имеют после абсолютного удара,

; . (I.94)

Следствия:

1. Если массы тел равны , то и , - тела обменялись скоростями.

2. Если второй шар до удара покоился , то

; (I.95)

а) при первый шар после удара будет продолжать двигаться вправо, но с меньшей скоростью.

б) при первый шар будет двигаться влево. Второй шар в обоих случаях после удара будет двигаться вправо.

3. Если при будет выполняться условие , то и .

Лёгкое тело после абсолютно упругого удара о массивное неподвижное тело будет изменять направление вектора скорости на противоположное.