§I.5.2 потенциал поля

В силу потенциальности гравитационного поля можно ввести его энергетическую характеристику – потенциал. Потенциалом гравитационного поля называется скалярная величина , равная отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку поля, к массе материальной точки:

. (I.130)

Потенциал не зависит от массы материальной точки, а является функцией координат точек гравитационного поля. Например, потенциал гравитационного поля, создаваемого неподвижной материальной точкой массы :

, (I.131)

где - расстояние от источника поля до рассматриваемой точки.

Из формулы (I.131) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образуют сферическую поверхность . Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Если потенциал гравитационного поля, создаётся произвольной системой из неподвижных материальных точек, то при наложении гравитационных полей их потенциалы складываются алгебраически, т. е. потенциал в любой точке результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов в той же точке для всех накладывающихся полей порознь:

. (I.132)

При пользовании формулой (I.132) необходимо, чтобы начала отсчётов потенциалов всех накладывающихся полей были выбраны одинаково: .

Существует взаимосвязь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью:

. (I.133)

Величина характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения и носит название градиента потенциала.

Связь между потенциалом поля тяготения и его напряжённостью, можно представить и в другом виде:

, (I.134)

где - градиент скаляра ( - векторный дифференциальный оператор). Знак минус в формуле (I.134) указывает, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

§I.5.3 космические скорости

Мы знаем, что тело, брошенное горизонтально с некоторой высоты, движется по параболе и падает на Землю тем дальше, чем больше скорость бросания. При некоторой скорости тело вообще может не упасть на Землю, а будет описывать круговые траектории, оставаясь на одной и той же высоте над Землёй. Это случится тогда, когда ускорение, сообщаемое телу силой тяжести, будет равно центростремительному ускорению, необходимому для удержания тела при данной его скорости на круговой орбите, или, иначе говоря, когда сила притяжения тела Землёй будет являться центростремительной силой. Положив радиус орбиты равным радиусу Земли , напишем уравнение

. (I.135)

В этом уравнении - масса тела, - центростремительное ускорение тела, - сила тяжести, действующая на тело. Из уравнения (I.135) следует, что

. (I.136)

Скорость , определяемая формулой (I.136) называется первой космической скоростью. При радиусе Земли м и м/с², она будет равна м/с. При запуске спутника непосредственно у поверхности Земли (если бы не было атмосферы, необходимая начальная скорость была бы равна км/с).

Для того чтобы, тело могло выйти из сферы земного притяжения и стало спутником Солнца (т.е. удалилось на такое расстояние, при котором притяжение к Земле становится пренебрежимо малым), ему при запуске с Земли необходимо сообщить скорость , называемую второй космической скоростью.

Формула для её нахождения имеет вид (она выводится из закона сохранения энергии):

, (I.137)

или приняв во внимание формулу (I.136), получим, что км/с. Значение не зависит от направления, в котором запускается тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли.

И, наконец, для того, чтобы тело покинуло пределы Солнечной системы, ему при запуске с Земли, необходимо сообщить скорость км/с которая носит название третьей космической скорости. Сообщение телам таких больших начальных скоростей является сложной технической задачей.

Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая – при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая – при запуске ракеты к Луне в 1959 г. После исторического полёта 12 апреля 1961г. началось бурное развитие как советской, так и зарубежной космонавтики.