§I.1.6 свободное падение тел

Падение тел происходит по законам равнопеременного движения; это было установлено Галилеем при движении шарика по наклонной плоскости и может быть продемонстрировано при помощи машины Атвуда и многих других приборов, которые имеют целью замедлить движение и сделать явление падения легко наблюдаемым.

Свободным падением называется движение, которое совершало бы тело только под действием силы тяжести без учёта сопротивления воздуха.

При свободном падении тела с небольшой высоты от поверхности Земли ( , где - радиус Земли) оно движется с постоянным ускорением , направленным по вертикали вниз.

Ускорение называется ускорением свободного падения. Оно одинаково для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем моря и от географической широты.

Величина нормального ускорения свободного падения (т.е. на уровне моря на северной широты) составляет м/с². На полюсах ускорение свободного падения больше ( м/с²), а на экваторе меньше ( м/с²). Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли – с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Различие значений невелико, поэтому ускорение свободного падения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с².

Законы движения падающего тела, вследствие постоянства (в скалярном виде), имеют вид:

; (I.21)

, (I.22)

где - путь, пройденный телом в свободном падении, к моменту времени .

Применим их к некоторым частным случаям.

1. Свободное падение с высоты . Свободное падение представляет собой частный случай равноускоренного движения при :

; . (I.23)

Скорость, с которой падающее тело достигает поверхности Земли, определяется по формуле:

. (I.24)

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх (рис.16,а). Тело, брошенное вертикально вверх, движется равнозамедленно с начальной скоростью и ускорением . Для описания этого движения, используют следующие формулы:

. (I.25)

. (I.26)

. (I.27)

Движение тела, брошенного вертикально вниз (рис.16,б), представляет собой равноускоренное движение с ускорением . Для его описания можно воспользоваться формулами (I.25) - (I.27), поменяв в них знак «-» на «+».

Тело, брошенное вертикально вверх, достигает максимальной высоты в тот момент, когда его скорость обращается в нуль:

. (I.28)

А из формулы (I.26) найдём время подъёма тела на максимальную высоту:

. (I.29)

3. Движение тела, брошенного горизонтально. Движение тела, брошенного горизонтально, представляет собой комбинацию двух движений, взаимно перпендикулярных друг другу:

• горизонтального (равномерного) движения;

• вертикального (свободного падения).

Если построить траекторию движения тела, брошенного горизонтально, в системе координат , то координаты каждой точки траектории представляют собой перемещения тела в горизонтальном направлении (движение с постоянной скоростью ) и в вертикальном направлении (равноускоренное движение с ускорением ) (рис.16, в):

; . (I.30)

Рисунок 16 – в) движение тела, брошенного горизонтально

Подставив во второе уравнение (I.30), получим уравнение траектории тела, брошенного горизонтально:

. (I.31)

Так как и - постоянные величины, то , т.е. траектория движения представляет собой параболу.

Рисунок 17 – Направление вектора результирующего перемещения

Положение каждой точки траектории можно задать вектором положения (рис.17), который представляет собой результирующее перемещение: , или

(I.32)

Рисунок 18 – Направление вектора мгновенной скорости

Вектор мгновенной скорости в каждой точке траектории является результирующей мгновенных скоростей этих движений (рис.18):

. (I.33)

Модуль вектора (I.33) запишется как:

. (I.34)

4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой комбинацию двух поступательных движений:

• свободного падения в вертикальном направлении;

• равномерного прямолинейного движения под углом к горизонту.

Рисунок 19 – Движение тела, брошенного под углом к горизонту

На рисунке 19 представлена траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту.

Перемещение тела к моменту времени в горизонтальном и вертикальном направлениях будет определяться следующим образом:

, (I.35)

. (I.36)

В наивысшей точке подъёма: . Тогда уравнение (I.26) для скорости будет иметь вид: , где -время подъёма на максимальную величину:

. (I.37)

Для нахождения общего времени движения, рассмотрим точку . В этой точке: ; . Тогда уравнение (I.25), перепишется в виде:

, где - общее время движения. Выразим его:

. (I.38)

Максимальная высота подъёма определится по формуле:

. Подставим сюда выражение (I.37), получим:

. (I.39)

Дальность броска определяется по формуле (I.35):

. Подставив выражение (I.38), получим:

. (I.40)

На что необходимо обратить внимание:

• Сопротивление воздуха не учитывалось.

• При постоянной начальной скорости дальность броска зависит от угла.

Из формулы (I.40) следует, что она максимальна при , так как . При значениях и дальность броска будет меньше.