Глава II.2. Динамика материальной точки
§II.2.1 основные законы и формулы
1. Импульс (количество движения) материальной точки:
(II.28)
Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки):
(II.29)
Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть выражен формулой:
, (II.30)
где - ускорение тела (материальной точки).
Если сила постоянна по величине и действует по неизменному направлению, то изменение импульса тела за конечный промежуток времени равно произведению силы на время её действия:
или 
, (II.31)
где и - начальная и конечная скорости тела, разделённые промежутком времени .
Равенство (II.30) также выражает второй закон Ньютона. В случае переменной массы связь между силой, массой и ускорением выражается уравнением Мещерского:
, (II.32)
где
- действующая сила; 
- реактивная сила;
- скорость присоединяющейся (отделяющейся)
массы относительно тела.
2. Сила, действующая на материальную точку, движущуюся по криволинейной траектории, может быть разложена на две составляющие – тангенциальную и нормальную:
а) тангенциальная или касательная сила
, (II.33)
или
, (II.34)
где - радиус кривизны траектории; - угловое ускорение.
б) нормальная или центростремительная сила:
, (II.35)
или
, (II.36)
где - угловая скорость тела.
3. Центробежная сила инерции (в неинерциальной системе отсчёта):
, (II.37)
или
. (II.38)
Центробежная сила инерции направлена вдоль радиус - вектора от центра или оси вращения.
4. Сила трения скольжения
, (II.39)
где - коэффициент трения скольжения; - сила нормального давления.
5. Сила трения качения
, (II.40)
где 
- коэффициент трения качения;
- радиус катящегося тела.
6. Сила упругости
, (II.41)
где - деформация тела; - коэффициент жёсткости (упругости) тела.
7. Третий закон Ньютона
, (II.42)
где и - силы, с которыми взаимодействуют две материальные точки.
§II.2.2 примеры решения задач
ЗАДАЧА № II.21 Поезд подходит к станции и замедляет свое движение. В каком направлении в это время легче тащить тяжелый ящик по полу вагона: по ходу поезда или в обратную сторону?
Ответ. По ходу поезда.
ЗАДАЧА № II.22 Что произошло бы с людьми, если бы Земля внезапно остановилась и прекратила свое движение вокруг Солнца?
Ответ. Люди по инерции с огромной скоростью полетели бы от Земли.
ЗАДАЧА № II.23 В зоопарках белок помещают в цилиндрический барабан, где имеются спицы. Барабан подвешен на оси, вокруг которой он может свободно вращаться. В какую сторону и почему барабан вращается во время движения белки по спицам?
Ответ. Барабан вращается в сторону, противоположную движению белки, которая при своем беге отталкивается от спиц, приводя барабан в движение.
ЗАДАЧА № II.24 Предложите способ определения вместимости сосуда, в котором находится вода, используя только весы и разновес.
Ответ. Сначала с помощью весов определяют массу стакана, а затем, заполнив его полностью водой, снова ставят на весы. По плотности и массе воды, находящейся в стакане, определяют вместимость этого стакана.
ЗАДАЧА № II.25 Почему в конце прыжка спортсмен опускается на согнутые ноги?
Ответ. Сгибая ноги в конце прыжка, спортсмен как бы увеличивает тормозной путь, а следовательно, уменьшает силу удара о поверхность Земли.
ЗАДАЧА № II.26 В кинофильмах каскадер часто совершает в прыжке пересадку с одного автомобиля на другой. Почему это опасно делать при большой разнице в скоростях автомобилей?
Ответ. При пересадке каскадер испытывает большое изменение скорости за короткий промежуток времени. В результате он переносит большие перегрузки, что для человека опасно.
ЗАДАЧА № II.27 Океанский лайнер при столкновении с маленьким пароходом может потопить его почти без всяких для себя повреждений. Как это согласуется с третьим законом Ньютона?
Ответ. Массы лайнера и парохода разные. В результате столкновения суда приобретают разные ускорения, что приводит к их различным повреждениям.
ЗАДАЧА № II.28 На внутренней стенке закрытой банки, уравновешенной на чувствительных весах, сидит муха. Что произойдет с весами, если муха станет летать внутри банки?
Ответ. Покинув стенку банки и держась в воздухе на одном уровне, муха давит крылышками на воздух силой, равной собственному весу. Это давление передается дну банки. Следовательно, весы останутся в равновесии. Если же, летая в банке, муха поднимается вверх или опускается вниз, то чувствительные весы должны покачнуться.
ЗАДАЧА № II.29 Мальчик везет санки. Сила, с которой он их тянет, равна силе, с которой санки противодействуют этому движению. Казалось бы, санки должны оставаться на месте. Почему же они движутся?
Ответ. Сила, с которой мальчик тянет санки, вполне достаточна для того, чтобы они двигались. Однако такая же по модулю сила, противодействующая этому движению, недостаточна, чтобы преодолеть значительное сцепление подошв его обуви с поверхностью снега или льда.
ЗАДАЧА № II.30 Почему трудно разбить орех на мягкой опоре и легко его разбить на твердой опоре?
Ответ. Чтобы разбить орех, надо приложить к нему две равные, но противоположно направленные силы, которые сожмут его так, что скорлупа разрушится. Одна сила характеризует взаимодействие ореха с молотком, а другая — взаимодействие ореха с опорой. Если опора твердая и неподвижная, то эти условия соблюдаются. Если опора мягкая, то при ударе орех приобретает скорость, но, углубляясь в мягкую опору, он эту скорость теряет, поэтому скорлупа почти не изменяет своей формы и орех не разрушается.
ЗАДАЧА № II.31 Вагон массой 20 т движется равнозамедленно с ускорением 0,3 м/с2 и начальной скоростью 54 км/ч. Найти силу торможения, действующую на вагон, время движения вагона до остановки и перемещение вагона.
Дано:
т =
кг;
м/с2;
км/ч
=
м/с.
Найти:
Решение
Рисунок
55 – Действие различных сил на вагон
На
вагон, движущийся вдоль оси
действуют:
сила тяжести (
);
сила трения (
);
сила нормальной реакции опоры (
)
(рис.55).
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Направление вектора скорости совпадает с направлением оси . Вектор ускорения будет направлен в сторону противоположную направлению движения (так как движение вагона равнозамедленное).
Проецируем обе части уравнения (1) на ось :
: 
или
; 
Н
= 6 кН.
Время
движения вагона до остановки найдём
из уравнения (II.8):
,
так как
(по условию задачи), то:
,
; 
с.
Расстояние,
пройденное вагоном до остановки
определяется формулой (II.7): 
или 
; 
м.
ЗАДАЧА № II.32 Тело массой 45 кг перемещается по горизонтальной плоскости под действием силы 294 Н, направленной под углом 300 к горизонту. Коэффициент трения груза о плоскость 0,1. Определить ускорение движения груза.
Дано:
кг;
Н;
;
рад
Найти:
Решение
Рисунок
56 – Движение тела под действием силы
тяги, направленной под углом
к горизонту.
На тело действуют: сила тяжести ( ); сила трения ( ); сила нормальной реакции опоры ( ); сила тяги ( ) (рис.56).
Направление вектора ускорения ( ) совпадает с направлением оси .
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Проецируем
обе части уравнения (1) на оси
и
:
: 
;
:
; (2)
Решим полученную систему уравнений (2) относительно неизвестного параметра (ускорения), получим:
; 
м/с2.
ЗАДАЧА № II.33 Тело равномерно скользит по наклонной плоскости с углом наклона . Определить коэффициент трения тела о плоскость.
Дано:
Найти:
Решение
Рисунок
57 – Движение тела по наклонной плоскости
При скольжении тела по наклонной плоскости на него действуют: сила тяжести ( ); сила трения ( ); сила нормальной реакции опоры ( ) (рис.57). Ускорение при равномерном скольжении тела равно нулю.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :
:
;
:
;
(2)
Решим полученную систему уравнений (2) относительно неизвестного параметра (коэффициента трения тела о плоскость), получим:
;
. (3)
Уравнение (3) показывает, что если тело равномерно скользит по наклонной плоскости, то коэффициент трения тела о плоскость будет определяться тангенсом угла наклона этой плоскости.
В случае равнопеременного движения данное утверждение не применимо.
ЗАДАЧА № II.34 Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием груза массой 0,5 кг, прикреплённого к концу нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок. Коэффициент трения бруска о поверхность 0,1. Найти ускорение движения тела и силу натяжения нити. Массами блока и нити, а также трением в блоке пренебречь.
Дано:
кг;
кг;
Н;
.
Найти:
Решение
Будем рассматривать движение каждого тела в отдельности.
Первое
тело. На
брусок действуют: сила тяжести (
);
сила трения (
);
сила нормальной реакции опоры (
);
сила натяжения нити (
)
(рис.58).
Рисунок
58– Движение бруска по горизонтальной
плоскости, груза – в вертикальной
плоскости.
Запишем для бруска второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :
:
:
(2)
После ряда преобразований системы уравнений (2), получим:
. (3)
Второе
тело. На
груз действуют: сила тяжести (
);
сила натяжения нити (
)
(рис.58).
Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:
. (4)
Проецируем обе части уравнения (4) на ось :
. (5)
Складывая
уравнения (3) и (5) и учитывая, что
,
а 
,
получаем: 
.
Выразим из последнего равенства
ускорение:
; 
м/с2.
Силу натяжения нити находим из уравнения (5):
; 
Н.
ЗАДАЧА № II.35 Груз массой 5 кг, связанный нерастяжимой нитью, перекинутой через неподвижный блок, с другим грузом массой 2 кг, движется вниз по наклонной плоскости. Найти силу натяжения нити и ускорение грузов, если коэффициент трения между первым грузом и плоскостью 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту 360. Массами нитей и блока, а также трением в блоке пренебречь.
Дано:
кг;
кг;
рад;
.
Найти:
Решение
Рисунок
59– Движение первого груза по наклонной
плоскости, второго груза – в вертикальной
плоскости.
Рассмотрим движение каждого груза в отдельности.
Первый груз. На груз действуют: сила тяжести ( ); сила трения ( ); сила нормальной реакции опоры ( ); сила натяжения нити ( ) (рис.59).
Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Проецируем обе части уравнения (1) на оси и :
:
;
:
;
(2)
Преобразуем систему уравнений (2) к виду:
. (3)
Второй груз. На груз действуют: сила тяжести ( ); сила натяжения нити ( ) (рис.59).
Запишем для груза второй закон Ньютона в векторной форме:
. (4)
Проецируем обе части уравнения (4) на ось :
. (5)
Складывая
уравнения (3) и (5) и учитывая, что
,
а
,
получаем: 
.
Выразим из последнего равенства
ускорение:
;
м/с2.
Силу натяжения нити находим из уравнения (5):
; 
Н.
ЗАДАЧА № II.36 Невесомый блок укреплён на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 300 и 450. Гири 1 и 2 массой 1 кг каждая соединены нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силу натяжения нити. Считать нить невесомой и нерастяжимой. Трением пренебречь.
Дано:
кг;
рад;
рад.
Найти:
Решение
Рассмотрим движение каждой гири в отдельности.
Первая
гиря. На
гирю действуют: сила тяжести (
);
сила нормальной реакции опоры (
);
сила натяжения нити (
)
(рис.60).
Запишем для гири второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Проецируем
обе части уравнения (1) на оси
и
:
:
;
(2)
:
.
(3)
Рисунок
60 – Движение гирь по плоскостям с
разными углами наклона
Вторая гиря. На гирю действуют: сила тяжести ( ); сила нормальной реакции опоры ( ); сила натяжения нити ( ) (рис.60).
Запишем для гири второй закон Ньютона в векторной форме:
. (4)
Проецируем
обе части уравнения (3) на оси
и
:
:
; (5)
:
;
(6)
Уравнения (3) и (6) в данной задаче не используются, так как силой трения пренебрегаем.
Складывая
уравнения (2) и (5) и учитывая, что
,
а
,
получаем: 
.
Выразим из последнего равенства
ускорение:
; 
м/с2.
Силу натяжения нити найдём из (2):
; 
Н.
ЗАДАЧА
№ II.37
Три тела
массами
, 
и
связаны нитями и находятся на гладком
горизонтальном столе. К телу массой
приложена горизонтальная сила
(рис.61). Определить силу натяжения между
грузами
и
.
Дано: ; ; ; .
Найти:
Решение
Рисунок
61 – Движение связанных тел по гладкому
горизонтальному столу
Так как поверхность стола гладкая, влиянием силы трения можно пренебречь.
Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел:
Первое
тело. На
тело действуют: сила тяжести (
);
сила нормальной реакции опоры (
);
сила натяжения нити (
);
сила тяги (
)
(рис.61).
Запишем для этого тела второй закон Ньютона в векторной форме:
. (1)
Проецируем обе части уравнения (1) на ось :
(2)
Второе
тело. На
тело действуют: сила тяжести (
);
сила нормальной реакции опоры (
);
сила натяжения нити (
);
сила натяжения нити (
)
(рис.61).
Запишем для этого тела второй закон Ньютона в векторной форме:
. (3)
Проецируем обе части уравнения (3) на ось :
(4)
Третье
тело. На
тело действуют: сила тяжести (
);
сила нормальной реакции опоры (
);
сила натяжения нити (
)
(рис.61).
Запишем для этого тела второй закон Ньютона в векторной форме:
. (5)
Проецируем обе части уравнения (5) на ось :
. (6)
Проекция на ось в данной задаче не используется.
Сложив почленно, левые и правые части уравнений: (2), (4) и (6), получим:
. (7)
Выразим
из уравнения (7), ускорение движения тел:
и подставим его в формулу (6), получим:
.
ЗАДАЧА
№ II.38
На доске
(рис.62), равномерно вращающейся вокруг
вертикальной оси
,
укреплён на вертикальной стойке,
отстоящей от оси вращения на расстоянии
5 см, отвес. Какова частота вращения
доски, если нить отвеса длиной 8 см
отклонилась от вертикали на угол 400?
Дано:
см =
м;
см =
м;
.
Найти:
Решение
Рисунок 62 – Доска
,
равномерно вращающаяся вокруг
вертикальной оси
и отвес, укреплённый на вертикальной
стойке.
Запишем второй закон Ньютона:
(1)
Проецируем обе части уравнения (2) на оси и :
:
;
(2)
:
.
(3)
Перепишем уравнение (3) в виде:
. (4)
Поделим почленно уравнение (2) на уравнение (4), получим:
. (5)
Линейная скорость точки связана с угловой скоростью соотношением (II.25):
, (6)
где
, (7)
. (8)
Выразим из уравнения (8) частоту и введём соответствующие замены, получим:
; 
с-1.
ЗАДАЧА № II.39 Ведёрко с водой вращают в вертикальной плоскости на верёвке длиной 0,5 м. С какой наименьшей скоростью нужно его вращать, чтобы при прохождении через верхнюю точку удержать воду в ведёрке?
Дано:
см =
м;
Найти:
Решение
Рисунок 63 – Вращение ведёрка с водой
в вертикальной плоскости
На воду в верхней точке траектории действуют: сила тяжести ( ); сила нормальной реакции дна ( ) (рис.63).
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
, (1)
где 
- центростремительное ускорение, оно
равно:
. (2)
Направим
ось
вертикально вниз к центру окружности
.
Проецируем обе части уравнения (1) на
ось
и с учётом (2):
. (3)
В
момент отрыва воды от дна ведёрка 
,
поэтому
. (4)
Выразим из уравнения (4) наименьшую скорость вращения ведёрка:
; 
м/с.
ЗАДАЧА
№ II.40
Жёсткость
одной пружины равна
,
а другой
.
Какова жёсткость
пружины, составленной из этих пружин
соединённых: а) последовательно; б)
параллельно.
Дано: ; .
Найти: -?
Решение
а) При последовательном соединении пружин:
, (1)
где
; 
; 
. (2)
. (3)
Выразим
из формулы (2) следующие величины:
,
и подставим их в формулу (3), а также
учитывая равенство (1), получим:
. (4)
Перепишем уравнение (4) в виде:
. (5)
Выразим из последней формулы жёсткость пружины , получим:
.
б)
При параллельном соединении пружин: 
,
а
.
Учитывая, что
,
получим
или 
.