Глава II.7 элементы специальной теории относительности
§II.7.1 основные законы и формулы
Преобразования Лоренца
;
;
(I.109)
, (I.110)
где предполагается,
что система отсчёта
движется со скоростью
в положительном направлении оси
системы отсчёта
,
причём оси (
и
)
совпадают, а оси (
и
),
(
и
)
параллельны;
- скорость распространения света в вакууме.
Релятивистское замедление хода часов
, (I.111)
где - интервал времени, между событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами;
-
интервал времени, между теми же событиями,
отсчитанный покоящимися часами;
.
3. Релятивистское (лоренцево) сокращение длины
, (I.112)
где - длина стержня, измеренная в системе отсчёта, относительно которой стержень покоится;
- длина стержня, измеренная в системе отсчёта, относительно которой стержень движется со скоростью ;
4. Релятивистский закон сложения скоростей
;
;
, (I.113)
где предполагается, что система отсчёта движется со скоростью в положительном направлении оси системы отсчёта , причём оси ( и ) совпадают, а оси ( и ), ( и ) параллельны.
5. Масса релятивистской частицы
, (I.114)
где - масса покоя тела (собственная масса);
- масса тела, движущегося со скоростью относительно системы отсчёта;
- скорость тела относительно системы отсчёта;
( м/с).
6. Релятивистский импульс частицы
(I.115)
7. Основной закон релятивистской динамики
, (I.116)
где - релятивистский импульс частицы;
- вектор результирующей силы, приложенной к частице.
8. Закон взаимосвязи массы и энергии
, (I.117)
где - скорость света в вакууме;
- полная энергия свободного тела (частицы);
- релятивистская масса.
9. Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы
, (I.118)
где - энергия покоя.
10. Кинетическая энергия свободного тела (частицы)
(I.119)
§II.7. 2 примеры решения задач
ЗАДАЧА
№ II.118
Согласуется
ли с принципами специальной теории
относительности представление о теле
в виде шара радиуса
м,
вращающегося вокруг своей оси с угловой
скоростью
рад/с?
Ответ.
Нет, не согласуется. Скорость экваториальных
точек такого тела
м/с превышает скорость света в пустоте.
ЗАДАЧА
№ II.119
Согласуется
ли с принципами специальной теории
относительности представление об
электроне как о вращающемся вокруг
своей оси однородном шарике массы
кг (массы электрона) и радиуса
м
(классический радиус электрона),
обладающем собственным моментом импульса
(кг ∙ м2/с)
(вытекающее из квантовой теории и
подтверждённое экспериментально
значение собственного момента импульса
электрона)?
Ответ.
Нет, не согласуется, так как скорость
на «экваторе» такого шарика была бы
равна
м/с,
т.е. превышала бы скорость света в пустоте
почти в 300 раз.
ЗАДАЧА
№ II.120
Имеются два
одинаковых стержня. Стержень 1 покоится
в системе отсчёта
,
стержень 2 покоится в системе отсчёта
.
Системы движутся друг относительно
друга вдоль совпадающих осей
.
Стержни параллельны этим осям. Какой
стержень будет короче: а) в системе
,
б) в системе
?
Ответ. А) Стержень 2. Б) стержень 1.
ЗАДАЧА № II.121 При каких условиях справедливы преобразования Галилея? преобразования Лоренца?
Ответ. Преобразования Галилея справедливы для скоростей, малых по сравнению со скоростью света в вакууме. Преобразования Лоренца справедливы и для скоростей, близких к скорости света в вакууме.
ЗАДАЧА № II.122 Зависит ли от скорости движения системы отсчёта скорость тела? скорость света?
Ответ. Скорость тела зависит от выбора системы отсчёта; скорость света в вакууме не зависит от выбора системы отсчёта и во всех инерциальных системах отсчёта одинакова.
ЗАДАЧА № II.123 Неподвижный наблюдатель 1, находившийся посредине между точками и , увидел, что в эти точки одновременно попали молнии (рис. 87). Одновременны ли эти события для неподвижных наблюдателей 2 и 3? Для каких ещё неподвижных относительно и наблюдателей, кроме наблюдателя 1, события в и будут одновременными?
Рисунок
87 - Неподвижный наблюдатель 1, находится
посредине между точками
и
Ответ. Нет. Для наблюдателя 2 в точку молния попала раньше; для наблюдателя 3 молния попала раньше в точку . Для наблюдателей, равноудалённых от и .
ЗАДАЧА
№ II.124
В тот
момент, когда
середина поезда, движущегося равномерно
и прямолинейно, проходит мимо наблюдателя
,
посредине перрона, одновременно для
этого наблюдателя на концах перрона
зажигаются фонари
и
(рис. 88). Одновременны ли эти события для
наблюдателя
,
находящегося в середине движущегося
поезда?
Рисунок
88 –
Движение
поезда, относительно наблюдателей
и
.
Ответ. Нет. Так как поезд движется в точке , то свет от фонаря до встречи с движущимся наблюдателем должен пройти меньшее расстояние, чем свет от фонаря . Следовательно, для движущегося наблюдателя раньше загорится фонарь .
ЗАДАЧА
№ II.125
По условию
задачи №
II.118
определить,
какой фонарь для наблюдателя
загорится раньше, если фонари зажгли в
тот момент, когда наблюдатель
находился (рис.90):
1) в точке
;
2) в точке
;
3) в точке
.
Где должен находиться наблюдатель
в момент зажигания фонарей, чтобы свет
из точек
и
пришёл к нему одновременно?
Ответ:
1) фонарь
; 2)
фонарь
;
3) фонарь
.
Наблюдатель должен находиться в точке
на таком расстоянии
от середины перрона, чтобы к моменту
прохождения наблюдателем середины
перрона свет из
и
,
одновременно пришёл в точку
: 
, 
(рис.89).
Рисунок
89 –
Движение
поезда, относительно наблюдателей
и
.
ЗАДАЧА № II.126 Какой стала бы длина тела по направлению движения относительно неподвижного наблюдателя при ?
Ответ. Из формулы следует, что при , . Следовательно, при длина тела стала бы равной нулю, что невозможно.
ЗАДАЧА № II.127 Что можно сказать о длине стержня в различных инерциальных системах отсчёта? Имеет ли смысл понятие «длина стержня» вне связи с системой отсчёта?
Ответ. Длина стержня в различных системах отсчёта неодинакова. Понятие длины стержня имеет смысл только в конкретной системе отсчёта.
ЗАДАЧА
№ II.128
Какую
скорость должно иметь тело, чтобы его
продольные размеры уменьшились для
неподвижного наблюдателя
в 3 раза? До этого тело покоилось
относительно данного наблюдателя.
Дано:
;
м/с.
Найти:
Решение
Относительно наблюдателя продольные размеры движущегося тела изменяются:
, (1)
где - длина покоящегося тела.
Выразим из уравнения (1) скорость движения тела, предварительно возведя обе части равенства в квадрат, получим:
; 
,
т.е.
скорость тела должна составлять
скорости света. Поперечные размеры тела
при этом не меняются.
ЗАДАЧА № II.129 Какова должна быть энергия частицы, чтобы её продольный размер стал в раз меньше поперечного?
Дано:
;
м/с.
Найти:
Решение
Кинетическая энергия частицы определяется по формуле:
. (1)
Преобразуем уравнение (1) к виду:
. (2)
Относительно наблюдателя продольные размеры движущегося тела изменяются:
. (3)
Выразим
из формулы (3)
,
по условию задачи:
,
следовательно,
. (4)
Подставим формулу (4), в формулу (2), получим:
.
ЗАДАЧА № II.130 При какой относительной скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25%.
Дано:
Найти:
Решение
Относительно наблюдателя продольные размеры движущегося тела изменяются:
. (1)
По
условию задачи 
.
Отсюда, следует, что
,
или 
.
Подставим это значение в формулу (1),
получим: 
.
Значит 
.
Таким образом,
, следовательно,
; 
км/с.
ЗАДАЧА
№ II.131
Ракета
движется относительно неподвижного
наблюдателя
со скоростью, равной
скорости света в вакууме. Какое время
пройдёт по часам неподвижного наблюдателя,
если по часам, движущимся вместе с
ракетой, прошло 6 лет?
Дано:
;
лет;
м/с.
Найти:
Решение
Время, прошедшее по часам неподвижного наблюдателя, найдём по формуле:
. (1)
где - интервал времени, между событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами;
- интервал времени, между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами;
.
В данной задаче время можно не выражать в секундах, а оставить в годах.
лет.
ЗАДАЧА № II.132 Собственное время жизни частицы отличается на 1% от времени жизни по неподвижным часам. Определите .
Дано:
Найти:
Решение
Релятивистское замедление хода часов определяется по формуле:
, (1)
где - интервал времени, между событиями, отсчитанный движущимися вместе с телом часами;
- интервал времени, между теми же событиями, отсчитанный покоящимися часами;
Собственное время жизни частицы отличается от времени жизни по неподвижным часам на величину равную:
. (2)
Перепишем формулу (2) в виде:
. (3)
Выразим
из формулы (1) и подставим в формулу (3):
. (4)
Из формулы (4), определим :
; 
ЗАДАЧА № II.133 Определите зависимость скорости частицы (масса частицы ) от времени, если движение одномерное, сила постоянна и уравнение движения релятивистское.
Дано:
;
.
Найти:
Решение
Для нахождения зависимости скорости движения частицы от времени, используем основной закон релятивистской динамики:
,
,
. (1)
Релятивистский импульс частицы определяется формулой:
. (2)
Приравняем формулы (1) и (2):
. (3)
Выразим из полученного равенства скорость , после преобразований получим:
. (4)
Формула
(4) и будет устанавливать зависимость
скорости движения частицы от времени
.
ЗАДАЧА
№ II.134
Определите
релятивистский импульс и кинетическую
энергию протона, движущегося со скоростью
.
Дано:
кг;
.
Найти:
Решение
Релятивистский импульс протона определим по формуле:
; 
(Н·с).
Кинетическая энергия протона будет равна:
; 
Дж.
ЗАДАЧА
№ II.135
Определите
работу, которую необходимо совершить,
чтобы увеличить скорость частицы от
до
.
Дано:
.
Найти:
Решение
Работу, которую необходимо совершить, для увеличения скорости частицы, найдём из уравнения:
, (1)
где 
и
- начальная и конечная кинетическая
энергия частицы. Они соответственно
равны:
и 
. (2)
Подставим формулу (2) в формулу (1), получим:
; 
.
ЗАДАЧА № II.137 С какой скоростью достигают электроны анода рентгеновской трубки, работающей при напряжении 50 кВ? Решить задачу с учётом релятивистской поправки и найти процент ошибки при расчёте, произведённом по классическим формулам.
Дано:
кВ.
Найти:
Решение
Согласно классическим формулам, из закона сохранения энергии имеем:
. (1)
Из
формулы (1), найдём
:
; 
м/с.
Согласно релятивистским формулам, из закона сохранения энергии имеем:
. (2)
Отсюда
. (3)
Из
равенства (3), найдём 
:
; 
м/с.
Процент ошибки можно определить по формуле:
.