§I.1.4 равномерное прямолинейное движение
Движение, при котором отношение пути ко времени, за которое этот путь пройден, остаётся постоянным (т.е. тело движется с постоянной скоростью), называется равномерным.
При
равномерном прямолинейном движении
материальной точки мгновенная скорость
не зависит от времени и в каждой точке
траектории направлена вдоль траектории.
Средняя скорость за любой промежуток
времени равна мгновенной скорости
точки:
.
Таким образом,
.
Путь
,
пройденный материальной точкой при
равномерном прямолинейном движении за
промежуток времени
,
равен модулю
вектора перемещения точки за тот же
промежуток времени. Поэтому можно
записать:
или, если
,
. (I.12)
Формула
(I.12)
показывает связь между
и
в виде функциональной зависимости
.
Вид функции , представлен на рис.9,б.
График
при равномерном движении представляет
собой линию, параллельную оси времени
(рис. 9,а).
а) б)
Рисунок 9 – Графики зависимости
и
при
равномерном движении
Вид
графиков
,
,
зависит от направления вектора
и от выбора положительного направления
той или иной координатной оси. В качестве
примера рассмотрим проекции вектора
скорости и перемещения на ось
:
а)
(рис. 10,а); б)
(рис.10,б);
а) б)
§I.1.5 равнопеременное прямолинейное движение
Равнопеременное
прямолинейное движение
является частным случаем неравномерного
движения, ускорение при котором остаётся
постоянным как по модулю, так и по
направлению (
.
Среднее
ускорение
будет равно мгновенному ускорению
.
Направлено ускорение
вдоль траектории точки. Нормальное
ускорение при этом отсутствует
.
Если направление ускорения совпадает с направлением скорости то, движение называется равноускоренным. Модуль скорости равноускоренного движения точки с течением времени возрастает.
Если направление векторов ускорения и скорости противоположны то, движение называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамедленном движении точки с течением времени уменьшается.
Изменение
скорости
в течение промежутка времени
при равнопеременном прямолинейном
движении равно:
,
или
На графике это можно будет представить следующим образом (рис.11).
Рисунок 11 – График
зависимости скорости от времени
На
данном графике ускорение характеризуется
тангенсом угла между касательной к
скорости и осью времени:
.
Если
в начальный момент времени
скорость точки равна
(начальная скорость) и ускорение
известно, то скорость
в произвольный момент времени
:
. (I.13)
Проекция
вектора скорости на ось
прямоугольной
декартовой системы координат связана
с соответствующими проекциями векторов
начальной скорости и ускорения уравнением:
. (I.13/)
Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорости на другие координатные оси.
Формулы
(I.13)
и (I.13/)
выражают алгебраическую зависимость
скорости от времени и представляют
собой первый
закон равнопеременного движения.
Та же зависимость может быть наглядно
представлена графически
(рис.12). Будем откладывать на оси абсцисс
время
,
а на оси ординат скорость
в соответствующие моменты времени; к
первоначальной скорости
каждую секунду, прибавляется приращение
.
Рисунок 12 –
Графическое представление первого
закона равнопеременного движения
Второй
закон равнопеременного движения
- устанавливает связь между пройденным
расстоянием и временем движения (т.е.
даёт уравнение этого движения). Получим
его графическим методом, используя
рисунок 12. Для этого разобьём площадь
на узкие полоски
и примем площадь каждой из них за площадь
прямоугольника; она и выразит путь,
пройденный материальной точкой за малый
промежуток времени
,
в течение которого скорость можем
принимать постоянной. Составив сумму
таких площадей, определим путь, пройденный
за время движения
.
Но сумма этих площадей и будет как раз
площадью
.
Поэтому, выразив эту площадь в функции
времени, мы и найдём зависимость
от
:
.
Эта формула устанавливает искомую
зависимость пройденного при равнопеременном
движении расстояния от времени (второй
закон равнопеременного движения):
. (I.14)
При
путь равен:
. (I.15)
График зависимости для равноускоренного движения изображён на рисунке 13.
При прямолинейном равнозамедленном движении формула пути:
. (I.16)
Г
рафик
зависимости
для равнозамедленного движения изображён
на рисунке 14.
Рисунок 14 - График зависимости
для равнозамедленного движения
Окончательно два закона равнопеременного движения будут выглядеть следующим образом:
(I.17)
Из этих двух законов вытекают некоторые соотношения, имеющие частое применение в задачах и технике.
1. Для равноускоренного движения без начальной скорости (как уже говорилось выше) эти законы упрощаются:
(I.18)
2. Исключая время , получаем формулу для нахождения скорости в конце пройденного пути :
. (I.19)
при
. (I.20)
3.
Обозначим через
расстояния, проходимые в одну, две,
три,…секунды; имеем:
;
;
;
;…;
;
;
;…;
Расстояния, проходимые в последовательные единицы времени, относятся, как ряд нечётных чисел.
Осталось рассмотреть графики зависимости ускорения от времени при равноускоренном и равнозамедленном движениях.
График
при равноускоренном движении представляет
собой линию, параллельную оси времени
и расположенную выше этой оси (рис.15,а).
График при равнозамедленном движении представляет собой линию, параллельную оси времени и расположенную ниже этой оси (рис.15,б).
а)
б
)
Рисунок 15 – Графики зависимостей
:
а) при равноускоренном и б) при
равнозамедленном движениях.